Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

56 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
Exercice 4.3.8. Déterminer la position du centre de masse G d’un cône homogène,
plein, de hauteur h et de rayon R.
Démonstration. Considérons le cône S, dont la pointe est l’origine O, défini en
coordonnées cylindriques (r, θ, z) par 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ Rz/h et 0 ≤ z ≤ h.
L’élément de volume en coordonnées cylindriques étant dV = rdrdθdz, le volume
de S est V =
1 dV = S 3πR2h. Le barycentre du cône est alors R = (0, 0, Z) où
Z = (1/V )
S z dV = (1/V ) h
0 zdz Rz/h
rdr 0
2π
3
dθ et finalement Z = 0 4h. 4.3.2 Opérateur d’inertie
Considérons maintenant un solide mobile autour d’un point fixe O. En ayant
recours à (3.2.16), et au fait que b = 0 et vrel = 0, on voit que la vitesse absolue
d’un point r de ce solide est
v = ω × r. (4.3.7)
Supposons, pour l’instant, le solide formé de N points distincts. Le moment
angulaire d’un point matériel r de masse m par rapport à O se calcule aisément ; on
trouve ℓ = mr × v = mr × (ω × r) = −mr × (r × ω), c’est-à-dire
ℓ = −m j(r) 2 ω. (4.3.8)
D’où le lemme suivant donnant le moment angulaire total du solide.
Lemme 4.3.9. (i) Le moment angulaire total par rapport à un point fixe O d’un
solide formé de N points matériels (ri, mi)i=1,...,N est donné par
ℓ = I ω (4.3.9)
où I est un opérateur linéaire appelé opérateur d’inertie du système ; c’est un
opérateur symétrique qui prend la forme
N
I = −
dans le cas discret.
=
N
i=1
i=1
mi
mi j(ri) 2
ri 2
1 − ri ri
(4.3.10)
(4.3.11)