Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.3. CINÉTIQUE DES SOLIDES 59
(iii) Pour un disque plein D 2 R
ϱ = M/(πR 2 ) et
D 2 R
homogène et de masse M dans le plan z = 0, on a
x 2
dS =
D 2 R
y 2 dS = 1
4 πR4
(4.3.20)
d’où I = diag(I1, I1, I3) avec I1 = 1
4 MR2 et I3 = 1
2 MR2 . Nous remarquons que, pour
ce solide plan, on a
I3 = I1 + I2
dans les axes principaux d’inertie. Ce fait est général comme le montre clairement
la formule (4.3.15).
Exercice 4.3.15. Déterminer l’opérateur d’inertie I d’un cylindre homogène de
masse M, de hauteur h et de rayon R par rapport à son centre d’inertie.
Démonstration. On trouve I = diag(I1, I1, I3) avec I1 = 1
4 M(R2 + 1
3 h2 ) et, d’autre
part, I3 = 1
2 MR2 .
Exercice 4.3.16. Calculer l’opérateur d’inertie I d’un ellipsoïde plein, homogène,
de masse M et de demi-axes (a, b, c).
Démonstration. Le bord de l’ellipsoïde, E, a pour équation x 2 /a 2 +y 2 /b 2 +z 2 /c 2 = 1.
Posons x ′ = x/a, y ′ = y/c et z ′ = z/c de sorte que dans ces nouvelles coordonnées
on a x ′2 + y ′2 + z ′2 = 1, i.e. l’équation d’une sphère de rayon R = 1. On a donc
B3 abc(b
1
2y ′2 + c2z ′2 ) dx ′ dy ′ dz ′ . En utilisant le résultat
(4.3.18) avec R = 1 pour les variables x ′ , y ′ , z ′ on trouve I1 = ϱ abc(4π/15)(b2 + c2 ).
I1 =
E ϱ(y2 + z 2 ) dxdydz = ϱ
On sait, d’autre part, que ϱ = M/( 4
3 πabc) ; ceci entraîne I1 = 1
5 M(b2 + c 2 ). Nous
obtenons enfin I = diag 1
5 M(b2 + c 2 ), 1
5 M(c2 + a 2 ), 1
5 M(a2 + b 2 ) .
Proposition 4.3.17. Les valeurs propres (I1, I2, I3) de l’opérateur d’inertie vérifient
les inégalités triangulaires
I1 ≤ I2 + I3, I2 ≤ I3 + I1, I3 ≤ I1 + I2,
dont certaines deviennent des égalités dans le cas de solides plans.