Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

74 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
Exercice 4.5.3. Vérifier que l’on a bien
⎛
1 0
⎞
0
⎛
A1(θ) = ⎝ 0 cos θ − sin θ ⎠ & A3(ψ) = ⎝
0 sin θ cos θ
4.5.2 Lagrangien de la toupie de Lagrange
cos ψ − sin ψ 0
sin ψ cos ψ 0
0 0 1
Déterminons le lagrangien d’un solide quelconque conduisant aux équations régis-
sant son mouvement. Il nous faut donc déterminer l’énergie cinétique T et l’énergie
potentielle V en terme des angles d’Euler (φ, θ, ψ) et des vitesses associées ( ˙ φ, ˙ θ, ˙ ψ).
Nous spécialiserons ensuite ce lagrangien au cas de la toupie de Lagrange.
L’expression (4.3.24) de l’énergie cinétique met en jeu la vitesse angulaire Ω
du solide exprimée dans le repère mobile R ′ = (O, (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3)) par rapport auquel
l’opérateur d’inertie est diagonal, i.e.
⎛
I = ⎝
I1
où les moments d’inertie I1, I2, I3 du solide sont a priori arbitraires. La toupie de
Lagrange est, elle, caractérisée comme en (4.4.5) par.
I2
I1 = I2 = I3
I3
⎞
⎠
⎞
⎠ .
(4.5.3)
Lemme 4.5.4. La vitesse angulaire du solide exprimée dans R ′ est donnée par
⎛
˙φ sin θ sin ψ +
⎜
Ω = ⎜
⎝
˙ θ cos ψ
˙φ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ
˙φ cos θ + ˙ ⎞
⎟
⎠ . (4.5.4)
ψ
Démonstration. On a A −1 ˙ A = A −1 ( ˙
AA −1 )A = A −1 j(ω)A avec la définition (3.2.4)
du vecteur instantané de rotation ω. De plus (3.2.10) entraîne A −1 ˙ A = j(A −1 ω), ou
encore
A −1 ˙
A = j(Ω) (4.5.5)
grâce à (3.2.18). Cette formule donnera, pour une matrice A de la forme (4.5.1),
l’expression (4.5.4) recherchée.