Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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$Initiation à LATEX - CPT$

8 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE restituent les équations du mouvement du système des N corps en interaction, pour tout i = 1, . . . , N. Le pendule double ¨ri = j=i Fij + F ext i . Ce système est constitué de deux pendules M1 & M2, de longueurs ℓ1 & ℓ2 constantes et de masses m1 & m2 plongés dans le champ de gravitation g = gex avec g = const. > 0 ; le point de suspension du deuxième pendule est le point M1 et celui du premier, l’origine O fixe du système de coordonnées cartésiennes (x, y) dans le plan euclidien. On désigne par θ1 (resp. θ2) l’angle que forme le pendule M1 (resp. M2) avec la verticale. Déterminons le lagrangien du système. Posons Mn = O + (xn, yn) pour n = 1, 2 dans le repère orthonormé direct (ex ey) du plan pendulaire ; on a alors x1 = ℓ1 cos θ1, y1 = ℓ1 sin θ1 & x2 = ℓ1 cos θ1 + ℓ2 cos θ2, y2 = ℓ1 sin θ1 + ℓ2 sin θ2. L’énergie cinétique de M1 est T1 = 1 2 m1( ˙x 2 1 + ˙y 2 1) = 1 2 m1ℓ 2 1 ˙ θ 2 1 ; celle de M2 est alors T2 = 1 2 m2( ˙x 2 2 + ˙y 2 2) = 1 2 m2(ℓ 2 1 ˙ θ 2 1 + ℓ 2 2 ˙ θ 2 2 + 2ℓ1ℓ2 cos(θ1 − θ2) ˙ θ1 ˙ θ2). Les énergies potentielles sont, de même, V1 = −m1gx1 = −m1gℓ1 cos θ1 ainsi que V2 = −m2gx2 = −m2g(ℓ1 cos θ1 + ℓ2 cos θ2) — à des constantes additives près. Le lagrangien total est alors L = T1 + T2 − V1 − V2, c’est-à-dire L(θ1, θ2, ˙ θ1, ˙ θ2) = 1 2 (m1 + m2)ℓ 2 1 ˙ θ 2 1 + 1 2 m2ℓ 2 2 ˙ θ 2 2 + m2ℓ1ℓ2 cos(θ1 − θ2) ˙ θ1 ˙ θ2 +(m1 + m2)gℓ1 cos θ1 + m2gℓ2 cos θ2. Les équations de Lagrange (1.3.1) fournissant les équations du mouvement du système s’écrivent ici d(∂L/∂ ˙ θn)/dt − ∂L/∂θn = 0 pour n = 1, 2. On obtient ainsi,
1.3. EQUATIONS DE LAGRANGE 9 après quelques simplifications, le système suivant 0 = (m1 + m2)ℓ1 ¨ θ1 + m2ℓ2 cos(θ1 − θ2) ¨ θ2 + m2ℓ2 sin(θ1 − θ2) ˙ θ 2 2 (1.3.4) +(m1 + m2)g sin θ1 0 = ℓ2 ¨ θ2 + ℓ1 cos(θ1 − θ2) ¨ θ1 − ℓ1 sin(θ1 − θ2) ˙ θ 2 1 (1.3.5) +g sin θ2. Ce système d’équations différentielles non linéaires couplées n’est pas intégrable analytiquement. On sait par contre, depuis Henri Poincaré, que ses solutions ex- hibent un comportement chaotique, c’est-à-dire, une sensibilité structurelle aux conditions initiales (impossibilité de retrouver les mêmes trajectoires du système en répétant l’expérience — avec des conditions initiales identiques sur le plan expérimental). Nous pouvons, par contre, étudier les petits mouvements du système autour de la position d’équilibre (stable !) évidente 4 θ1 = θ2 = 0. On trouve alors aisément le système linéaire d’équations différentielles du second ordre couplées suivant où est tel que 0 < µ < 1. 0 = ¨ θ1 + µ ℓ2 ¨θ2 + g 0 = ¨ θ1 + ℓ2 µ = ℓ1 ℓ1 ¨θ2 + g m2 m1 + m2 θ1 ℓ1 θ2 ℓ1 Exhibons les fréquences propres naturelles du système dans le cas simple où ℓ1 = ℓ2 = ℓ 4. On vérifie que θ1(t) = θ2(t) = 0 est une solution exacte des équations (1.3.4) et (1.3.5). (1.3.6) (1.3.7)
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