Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

3.2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS NON INERTIELS 43
Déduisons enfin de (3.2.23) une formulation alternative des équations du mou-
vement dans un référentiel accéléré arbitraire.
Théorème 3.2.11. Les équations gouvernant le mouvement d’une particule de
masse m se formulent comme suit dans un référentiel non inertiel
m ¨ R = F − 2mΩ × ˙ R − m ˙ Ω × R − mΩ × (Ω × R) − mA −1¨ b (3.2.26)
en terme des grandeurs cinématiques et dynamiques relatives, où F défini par
f(r, ˙r, t) = A(t) F(R, ˙ R, t) (3.2.27)
représente les composantes de la force extérieure dans le référentiel mobile.
Exercice 3.2.12. Désignons par g le champ de gravitation newtonien de la terre.
Un pendule est au repos par rapport à la terre, au voisinage du sol ; déterminer
son accélération relative arel en fonction de g, de la vitesse angulaire ω de la terre
lors de son mouvement diurne et de la position rrel = const. du pendule. En déduire
l’expression g(λ) de l’intensité de l’accélération de la pesanteur sur terre en fonction
de la latitude λ, de la vitesse angulaire ω = ω, du rayon R de la terre et de la
valeur de g0 = g(±π/2) aux pôles. N .B. Négliger les termes O(ω 4 ).
Démonstration. Puisque vrel = 0 et ω = const. (la vitesse angulaire de la terre par
rapport à un référentiel “fixe” copernicien est constante) et b = 0, (3.2.23) nous
donne arel = g − ω × (ω × rrel). Alors g 2 = arel 2 ∼ = g 2 − 2〈g, ω × (ω × rrel)〉 en
négligeant des termes d’ordre 4 en ω = 2π/(24h) ∼ = 7,27 10 −5 s −1 . On obtient donc
g 2 ∼ = g 2 0 − 2〈g, ω〉〈ω, rrel〉 + 2ω 2 〈g, rrel〉 grâce à (3.2.7) et au fait que g0 = g aux
pôles où rrel//ω. Le champ g = −krrel/R 3 étant central (ici k = const. > 0), on a
〈g, rrel〉 = −g0R au voisinage du sol. Mais 〈ω, rrel〉 = ωR cos(π/2 − λ) = ωR sin λ
et 〈g, ω〉 = g0ω cos(π/2 + λ) = −g0ω sin λ. Alors g 2 ∼ = g 2 0 + 2g0ω 2 R sin 2 λ − 2g0ω 2 R
entraîne g 2 ∼ = g 2 0 − 2g0ω 2 R cos 2 λ, c’est-à-dire
g(λ) ∼ = g0 − ω 2 R cos 2 λ. (3.2.28)
On vérifie que g(±π/2) = g0 aux pôles et gmin = g(0) ∼ = g0 − ω 2 R à l’équateur.