Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
Proposition 1.2.1. Les équations de Fermat gouvernant l’optique géométrique sont
données par les équations de Lagrange pour le lagrangien (1.2.1) et prennent la forme
d
[nu] = grad n &
ds
dr
ds
= u (1.2.2)
Corollaire 1.2.2. Dans le vide, n = 1, les rayons lumineux empruntent les droites
(géodésiques) euclidiennes d’équation paramétrique
pour tout s ∈ R.
r(s) = ˙r(0) s + r(0)
Exercice 1.2.3. Supposons que l’indice de réfraction soit, dans le plan, donné par
la fonction discontinue
n(x, y) =
n1 (y > 0)
n2 (y ≤ 0)
où n1 et n2 sont deux constantes (positives). Déduire des équations (1.2.2) les Lois
de Descartes 3
n1 sin i1 = n2 sin i2 (réfraction)
i1 = −i2 (réflexion)
où i1 et i2 sont les angles orientés formés par les rayons lumineux et la normale ey
au dioptre y = 0. N .B. Ne pas chercher à déterminer le gradient de l’indice de
réfraction (car cet indice n’est pas une fonction continue !).
Exercice 1.2.4. Déterminer les trajectoires des rayons lumineux dans le demi-plan
supérieur, H + = {(x, y) ∈ R 2 | y > 0}, si l’indice de réfraction est n(x, y) = 1/y.
1.3 Equations de Lagrange
1.3.1 Formalisme intrinsèque
Nous avons introduit les équations de Lagrange (1.1.4) dans un cas réellement
très particulier (cas d’une particule non relativiste dans un potentiel extérieur) et, de
plus, dans un système de coordonnées spécial (les coordonnées cartésiennes de R n ,
pour n = 1, 2, 3, . . .). Les questions suivantes viennent alors naturellement à l’esprit :
3. Ces lois sont souvent attribuées à Snell & Descartes.