Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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$Initiation à LATEX - CPT$

6 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE On trouve aisément, cf. (1.3.2), ∂L ∂ ˙q puisque ∂q ∗ /∂ ˙q = 0. D’autre part On obtient donc d ∂L − dt ∂ ˙q ∂L ∂q ∂L ∂q = ∂L ∂q ∗ ∂q ∗ ∂ ˙q = ∂L ∂ ˙q ∗ Q′ (q) = ∂L ∂q ∗ d ∂L = dt ∂ ˙q ∗ Q′ (q) = d ∂L = ∂q ∗ ∂q + ∂L ∂ ˙q ∗ + ∂L ∂ ˙q ∗ ∂ ˙q ∗ ∂q ∂ ˙q ∗ ∂ ˙q = ∂L ∂q ∗ Q′ (q) + ∂L ∂ ˙q ∗ Q′′ (q) ˙q − ∂L ∂q ∗ Q′ (q) − ∂L ∂ ˙q ∗ Q′′ (q) ˙q dt ∂ ˙q ∗ Q ′ (q) + ∂L ∂ ˙q ∗ Q′′ (q) ˙q − ∂L ∂q∗ Q′ (q) − ∂L ∂ ˙q ∗ Q′′ (q) ˙q d ∂L dt ∂ ˙q ∗ − ∂L ∂q∗ Q ′ (q) Si les équations de Lagrange (1.3.1) sont vérifiées dans les coordonnées (q, ˙q), elles le seront automatiquement dans tout autre système (q ∗ , ˙q ∗ ) obtenu par un difféo- morphisme (1.3.2) découlant de la condition Q ′ (q) = 0. 1.3.2 Exercices illustratifs Le but de ce sous-chapitre est de fournir, sous forme d’exercices relativement détaillés, des exemples de problèmes physiques mis en équation grâce au formalisme lagrangien. Le système newtonien des trois corps Considérons le système de trois corps M1, M2 et M3, de masses m1, m2 et m3, en interaction gravitationnelle mutuelle. Le potentiel d’interaction newtonienne entre les points Mi et Mj (avec i = j) est donné par Vij(r1, r3, r3) = − Gmimj ri − rj
1.3. EQUATIONS DE LAGRANGE 7 où ri = OMi représente la position de l’astre Mi (i = 1, 2, 3) par rapport à une origine arbitraire O, et G la constante de Newton. On désigne par ˙ri la vitesse du point Mi à un instant donné. Justifier le lagrangien du système L(r1, r2, r3, ˙r1, ˙r2, ˙r3) = 1 2 m1˙r1 2 + 1 2 m2˙r2 2 + 1 2 m3˙r3 2 + Gm2m3 Gm3m1 Gm1m2 + + r2 − r3 r3 − r1 r1 − r2 en vérifiant que les équations de Lagrange sont bien équivalentes aux équations du mouvement de Newton pour ce système. Le système général des N corps Nous envisageons maintenant le cas général d’un système de points matériels M1, . . . , MN de masses m1, . . . , mN en interaction mutuelle et soumis à des forces extérieures. Nous supposerons que toutes les forces en jeu sont conservatives. Désignons par Vij le potentiel d’interaction entre Mi et Mj (avec i = j) et supposons qu’il ne dépende que de rij = ri − rj, la distance relative de Mi et Mj. On notera V ext i potentiel dont dérive la force extérieure F ext i Justifier que pour tout k = 1, 2, 3, où ∂Vij ∂rk = Fij [δjk − δik] Fij = − ∂Vij appliquée au point Mi. représente la force à laquelle est soumise Mi interagissant avec Mj. Vérifier que la ∂ri troisième loi de Newton est vérifiée si Vij = Vji. Considérons le lagrangien suivant L(r, ˙r) = 1 2 N i=1 mi˙ri 2 − 1 2 N i,j=1 i=j Vij − N i=1 V ext i le (1.3.3) où r = (r1, r2, r3) et ˙r = (˙r1, ˙r2, ˙r3). Montrer que les équations de Lagrange (1.3.1)
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