Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.4. EQUATIONS D’EULER & MOUVEMENTS DE POINSOT 69
Théorème 4.4.3. Les équations d’Euler (4.4.1) possèdent deux intégrales premières
2E = 〈L, Ω〉 = L2 1
I1
+ L2 2
I2
+ L2 3
I3
= const. (4.4.10)
L 2 = 〈L, L〉 = L 2 1 + L 2 2 + L 2 3 = const. (4.4.11)
Démonstration. L’énergie cinétique du solide (4.3.24) donnant ici l’énergie totale
E = 1
2
1
〈Ω, I Ω〉 = 〈Ω, L〉, on obtient dE/dt = 〈Ω, I dΩ/dt〉 = 〈Ω, dL/dt〉 et
2
dE/dt = 〈Ω, L × Ω〉 = 0 grâce aux équations d’Euler (4.4.1). On a, de même,
d(L 2 )/dt = 2〈L, dL/dt〉 = 2〈L, L × Ω〉 = 0 grâce à (4.4.1).
Exercice 4.4.4. Prouver (4.4.10) et (4.4.11) en utilisant la forme (4.4.4) des
équations d’Euler.
Nous voyons donc que le mouvement du moment angulaire L s’effectue sur des
courbes, intersection d’un ellipsoïde de demi-axes √ 2EI1, √ 2EI2, √ 2EI3 et d’une
sphère de rayon L 2 . Les caractéristiques de ses surfaces sont, bien sûr, définies par
les conditions initiales que l’on impose au système. Ces courbes sont clairement des
courbes fermées, impliquant que le mouvement du solide est périodique.
Six points jouent un rôle particulier ; ce sont les sommets de l’ellipsoïde corres-
pondant à des valeurs de l’énergie, E, et du moment angulaire, L, telles que les
courbes se réduisent à des points (par exemple L = √ 2EI1). Ces sommets corres-
pondent donc à des valeurs constantes du moment angulaire L qui est donc, comme
la vitesse angulaire Ω, une constante du mouvement : il existe, pour un solide libre
autour d’un point fixe O six mouvement de rotations stationnaires autour des
trois axes d’inertie du système.
Pour d’autres relations entre E et L il existe des courbes fermées correspondant
à des trajectoires (périodiques) de L. Dans le cas (4.4.9), on montre qualitativement
en étudiant ces courbes aux voisinages des sommets de l’ellipsoïde que les rotations
stationnaires autour des directions extrêmes e ′ 1 et e ′ 3 sont stables 7 alors qu’elles sont
7. Les courbes fermées restent dans un voisinage des sommets qu’elles entourent quand on
diminue par exemple la valeur du moment angulaire L.