Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.3. CINÉTIQUE DES SOLIDES 61
4.3.3 Energie cinétique du solide
On peut maintenant déterminer l’énergie cinétique du solide (par rapport au
repère fixe) entrant dans la définition du lagrangien. Nous exprimerons cette quantité
à la fois dans le repère fixe et dans le repère mobile lié au point fixe, O.
Théorème 4.3.19. L’énergie cinétique du solide mobile autour d’un point fixe, O,
est donnée par la forme quadratique suivante en la vitesse angulaire
T = 1 1
〈ω, I ω〉 = 〈ω, ℓ〉, (4.3.23)
2 2
= 1
1
〈Ω, I Ω〉 = 〈Ω, L〉. (4.3.24)
2 2
Démonstration. On sait que T = 1 N 2 i=1 mivi2 dans le cas discret, par exemple.
Grâce à (4.3.7), on trouve
T = 1
2
= 1
2
= 1
2
N
miω × ri 2
i=1
N
mi〈ω, ri × (ω × ri)〉
i=1
N
−mi〈ω, j(ri) 2 ω〉
i=1
= 1
2 〈ω,
N
−mi j(ri) 2
ω〉
i=1
= 1
〈ω, Iω〉
2
avec la définition (4.3.10) de l’opérateur d’inertie. Le reste de la preuve découle de la
relation (4.3.9) entre moment angulaire et vitesse angulaire. L’expression (4.3.24) de
l’énergie cinétique en terme des quantités précédentes exprimées dans le référentiel
mobile lié au solide suit du fait que ω = AΩ et I = AIA −1 , avec A ∈ SO(3).
L’énergie cinétique d’un solide évoluant dans l’espace sans point fixe, se calcule
maintenant aisément ; elle est donnée par le