Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

62 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
Corollaire 4.3.20. L’énergie cinétique d’un solide est somme de l’énergie cinétique
de translation du centre d’inertie, G, et de l’énergie cinétique de rotation autour du
point G, i.e.
T = 1
2 MvG 2 + 1
2 〈ω, IG ω〉 (4.3.25)
où M est la masse totale, vG la vitesse du centre d’inertie G du solide, IG est son
opérateur d’inertie relativement à G et ω sa vitesse angulaire.
Démonstration. Travaillons, comme précédemment, dans le cas d’un solide formé
de N points. L’énergie cinétique est T = 1
2
N
i=1 mivi 2 où, cf. (4.2.1), la vitesse
du point Mi est vi = vG + ω × GMi pour tout i = 1, . . . , N. On trouve alors
N i=1 mi (vG2 + 2〈vG, ω × GMi〉 + ω × GMi2 ) ou encore, en
aisément T = 1
2
développant, T = 1
2 MvG2 + 〈vG × ω, N i=1 mi GMi〉 + 1
2
N
i=1 mi ω × GMi 2 ,
en désignant par M la masse totale. Le deuxième terme s’annule en vertu de (4.3.5)
et le troisième donné par (4.3.23) avec O = G.
4.3.4 Dynamique du solide
Donnons, dans ce chapitre, les équations du mouvement d’un solide en présence
de forces extérieures. Nous supposerons, pour simplifier, ce solide mobile autour d’un
point fixe, O. Cette restriction, peu fondamentale, permet la description complète
d’un certain nombre de systèmes mécaniques de première importance comme les
toupies, les gyrocompas, les gyroscopes dédiés à la stabilisation des véhicules, etc.
On déduit du Théorème général II, à savoir de l’équation (4.1.6), le
Théorème 4.3.21. Soit k le moment des forces extérieures appliquées à un solide
relativement à un point O ; l’évolution temporelle du moment angulaire ℓ de ce solide
est gouvernée par l’équation différentielle
dℓ
dt
= k. (4.3.26)