Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

3.1. LE GROUPE EUCLIDIEN 35
Le cas n = 3 est, par ailleurs, d’une importance toute particulière en mécanique
du solide ; illustrons-le par l’exercice suivant.
Exercice 3.1.9. Désigner, parmi les matrices suivantes, celles qui sont des rotations
euclidiennes et celles qui sont des matrices orthogonales :
⎛
⎞ ⎛
cos θ − sin θ 0
cos θ − sin θ
⎞
0
A = ⎝ sin θ cos θ 0 ⎠ , B = ⎝ sin θ cos θ 0 ⎠ ,
0 0 1
0 0 −1
⎛
−1 0
⎞
0
⎛
1 0
⎞
0
P = ⎝ 0 −1 0 ⎠ , S = ⎝ 0 1 0 ⎠ .
0 0 −1
0 0 −1
Les rotations, matrices orthogonales A de déterminant positif, préservent
l’orientation de l’espace : vol(Au, Av, Aw) ≡ det(A)vol(u, v, w) ≡ vol(u, v, w)
puisque det(A) = 1.
Les symétries, matrices orthogonales S de déterminant négatif, renversent
l’orientation : vol(Su, Sv, Sw) ≡ −vol(u, v, w) puisque det(S) = −1.
Le groupe des translations
Si l’on considère un espace euclidien E n modelé sur R n et muni du produit
scalaire g, alors les translations (3.1.1),
M ↦→ M ∗ = M + b
avec b ∈ R n , préservent le produit scalaire (3.1.5) car δM ∗ = δM puisque b est un
vecteur constant, c’est-à-dire g(δM, δ ′ M) ≡ g(δM ∗ , δ ′ M ∗ ) ou encore, si δr (resp. δr ∗ )
représente δM (resp. δM ∗ ) dans une base orthonormée,
Les isométries euclidiennes
〈δr, δ ′ r〉 ≡ 〈δr ∗ , δ ′ r ∗ 〉. (3.1.11)
Nous pouvons conclure que les transformations d’un espace euclidien (E n , g) de
la forme
r ↦→ r ∗ = Ar + b où A ∈ O(n) & b ∈ R n
(3.1.12)