Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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56 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE Exercice 4.3.8. Déterminer la position du centre de masse G d’un cône homogène, plein, de hauteur h et de rayon R. Démonstration. Considérons le cône S, dont la pointe est l’origine O, défini en coordonnées cylindriques (r, θ, z) par 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ Rz/h et 0 ≤ z ≤ h. L’élément de volume en coordonnées cylindriques étant dV = rdrdθdz, le volume de S est V = 1 dV = S 3πR2h. Le barycentre du cône est alors R = (0, 0, Z) où Z = (1/V ) S z dV = (1/V ) h 0 zdz Rz/h rdr 0 2π 3 dθ et finalement Z = 0 4h. 4.3.2 Opérateur d’inertie Considérons maintenant un solide mobile autour d’un point fixe O. En ayant recours à (3.2.16), et au fait que b = 0 et vrel = 0, on voit que la vitesse absolue d’un point r de ce solide est v = ω × r. (4.3.7) Supposons, pour l’instant, le solide formé de N points distincts. Le moment angulaire d’un point matériel r de masse m par rapport à O se calcule aisément ; on trouve ℓ = mr × v = mr × (ω × r) = −mr × (r × ω), c’est-à-dire ℓ = −m j(r) 2 ω. (4.3.8) D’où le lemme suivant donnant le moment angulaire total du solide. Lemme 4.3.9. (i) Le moment angulaire total par rapport à un point fixe O d’un solide formé de N points matériels (ri, mi)i=1,...,N est donné par ℓ = I ω (4.3.9) où I est un opérateur linéaire appelé opérateur d’inertie du système ; c’est un opérateur symétrique qui prend la forme N I = − dans le cas discret. = N i=1 i=1 mi mi j(ri) 2 ri 2 1 − ri ri (4.3.10) (4.3.11)
4.3. CINÉTIQUE DES SOLIDES 57 (ii) Dans le cas d’un solide (S, ϱ), le moment angulaire ℓ du solide par rapport au point fixe O est toujours donné par (4.3.9), et l’opérateur d’inertie par dans le cas continu. I = − ϱ(r) j(r) S 2 dV (r) (4.3.12) = ϱ(r) r 2 1 − r r dV (r) (4.3.13) S Démonstration. (ii) Il suffit d’appliquer (4.3.8) pour calculer le moment angulaire ℓi de chaque point ri pour i = 1, . . . , N. Le moment angulaire total du système étant ℓ = N i=1 ℓi, la formule (4.3.10) suit. L’expression (4.3.11) est déduite de (3.2.8). L’opérateur est trivialement symétrique, I = I, puisque la dyade ri ri est symétrique. (ii) Le moment angulaire total du solide est ℓ = sion (4.3.12) est alors déduite de (4.3.8). S (ϱ(r) r × v) dV (r) et l’expres- Exercice 4.3.10. Prouver que l’opérateur d’inertie (4.3.11) prend, en coordonnées cartésiennes, la forme suivante ⎛ ⎜ I = ⎜ ⎝ + N i=1 mi(y 2 i + z 2 i ) − N i=1 mi xiyi − N i=1 mi xiyi − N i=1 mi xizi − N i=1 mi xizi + N i=1 mi(x 2 i + z 2 i ) − N i=1 mi yizi − N i=1 mi yizi + N i=1 mi(x 2 i + y 2 i ) ⎞ ⎟ ⎠ (4.3.14) Exercice 4.3.11. Prouver que l’opérateur d’inertie (4.3.13) prend, en coordonnées cartésiennes, la forme suivante ⎛ + ⎜ I = ⎜ ⎝ S ϱ(y2 + z2 )dV − − ϱ xy dV S − ϱ xy dV S + S ϱ(x2 + z2 )dV − − ϱ xz dV − ϱ yz dV + S S S S ϱ xz dV ϱ yz dV S ϱ(x2 + y 2 )dV ⎞ ⎟ ⎠ (4.3.15) Corollaire 4.3.12. Le moment angulaire L d’un solide (S, ϱ) par rapport à un point fixe O, exprimé dans le référentiel mobile A(t) est donné par ℓ = AL (4.3.16)
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iv TABLE DES MATI ÈRES 3.1.2 Isom
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viii INTRODUCTION L’autre approch
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x INTRODUCTION
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