Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

3.2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS NON INERTIELS 45
Nous nous proposons d’intégrer (3.2.31) en négligeant 9 les termes en O(ω 2 ).
Les conditions initiales choisies seront R(0) = R0 et ˙ R(0) = 0, i.e. on étudie la
trajectoire d’un point matériel lâché sans vitesse initiale d’un point R0. Les équations
du mouvement seront donc approximées par
¨R ∼ = G − 2Ω × ˙ R. (3.2.32)
Posons a priori R(t) = 1
2 Gt2 + R0 + R1(t) où R1(t) désigne la petite déviation
de trajectoire recherchée. Puisque R1 = O(ω), on trouve que (3.2.32) entraîne
¨R1 ∼ = 2G×Ω t modulo des termes du second ordre en ω. Une intégration élémentaire
donne ˙ R1 ∼ = G × Ω t 2 puisque Ω et G sont des vecteurs constants et ˙ R1(0) = 0.
Il vient alors R1(t) ∼ = G × Ω t 3 /3 puisque R1(0) = 0. On obtient finalement la
trajectoire suivante
R(t) ∼ = 1
3 G × Ω t3 + 1
2 G t2 + R0. (3.2.33)
En introduisant la latitude λ = π/2 − θ du point considéré réécrivons (3.2.33)
comme
R(t) − R0 ∼ ⎛
0
⎜
= ⎜
gω cos λ
⎝
t3
3
−g t2
⎞
2
⎟
⎠
(3.2.34)
pour mettre en évidence une déviation vers l’est dans l’hémisphère nord 10 par
rapport à la verticale lors de la chute libre.
Exercice 3.2.13. Déterminer la déviation vers l’est d’un point matériel lâché sans
vitesse initiale du haut de la tour Eiffel, c’est-à-dire d’une altitude H ∼ = 275 m. On
prendra λ ∼ = 49 o et g ∼ = 10 m s −2 .
Démonstration. Posons R = (X, Y, Z) pour obtenir, grâce à la loi horaire (3.2.34),
Z − Z0 = −H = −g t 2 /2, i.e. le temps de chute t = 2H/g. Mais, d’autre part,
Y − 0 = gω cos λ t 3 /3 = (gω/3) cos λ[2H/g] 3/2 . A.N . On trouve Y ∼ = +6, 5 cm.
9. Nous avons vu que ω 2 s 2 ∼ = 5 10 −9 .
10. La deuxième composante de R(t) − R0 est positive pour tout t > 0 puisque 0 ≤ λ ≤ π/2
dans cet hémisphère.