Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

60 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
Démonstration. On voit (4.3.15) que I1+I2 =
I3 + 2
S ϱ z2 dV ≥ I3. On a égalité si z = 0, i.e. dans le cas d’un solide plan.
S ϱ(y2 + 2z 2 + x 2 ) dV , donc I1+I2 =
Définition-Théorème 4.3.1. On appelle rotateur tout solide dont les points sont
distribués sur une droite, par exemple la droite x = y = 0. L’opérateur d’inertie
d’un rotateur est
Démonstration. Trivial.
I = diag(I1, I1, 0). (4.3.21)
Exercice 4.3.18. Donner l’opérateur d’inertie IG par rapport au centre d’inertie G
en fonction de l’opérateur d’inertie IO par rapport au point fixe O en prouvant que
IG = IO + Mj(R) 2
où R = OG désigne le barycentre et M la masse totale.
(4.3.22)
Démonstration. Effectuons le calcul dans le cas discret. On a OMi = OG + GMi
pour tout i = 1, . . . , N de sorte que j(OMi) 2 = j(OG) 2 + j(GMi)j(OG) +
j(OG)j(GMi) + j(GMi) 2 . La définition (4.3.10) de IO donne alors
IO = −
= −
N
i=1
N
i=1
mi j(OMi) 2
mi
= −M j(OG) 2 + IG
j(OG) 2 + j(GMi)j(OG) + j(OG)j(GMi) + j(GMi) 2
grâce à la définition (4.3.5) du centre de masse, et en appelant M la masse totale.