Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

36 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES
sont des isométries, i.e. préservent le produit scalaire g. Ce sont des transformations
affines (3.1.2) particulières. Nous admettrons le résultat suivant :
Théorème 3.1.10. Les isométries d’un espace euclidien (E n , g) sont constituées
des transformations (3.1.12) qui forment un groupe appelé le groupe euclidien :
A
E(n) =
0
b
1
A ∈ O(n), b ∈ R n
. (3.1.13)
Le sous-groupe des transformations euclidiennes qui préservent l’orientation est ap-
pelé groupe spécial euclidien :
A
SE(n) =
0
b
1
A ∈ SO(n), b ∈ R n
. (3.1.14)
Exercice 3.1.11. Expliciter la loi de groupe du groupe euclidien : (0) donner l’élément
neutre, (i) calculer le composé (A ′′ , b ′′ ) de (A, b) et (A ′ , b ′ ) et (ii) trouver (A, b) −1 .
3.2 Changements de référentiels non inertiels
3.2.1 Prolégomènes
L’espace-temps non relativiste est, on le sait, un espace galiléen, i.e. un espace
affine, A 4 , muni (i) d’une fonction temps absolu t : A 4 → A 1 et (ii) d’une structure
d’espace euclidien E 3 = (A 3 , gt) sur chaque espace instantané t = const.
Dans un référentiel galiléen R où un événement d’espace-temps est représenté
par sa position et sa date,
avec r ∈ R 3 et t ∈ R, on a
r
M = R
t
gt(δM, δ ′ M) = 〈δr, δ ′ r〉 si δt = δ ′ t = 0 (3.2.1)
et dt désigne la différentielle donnant l’intervalle de temps entre deux événements.
Les symétries galiléennes, c’est-à-dire les transformations différentiables d’espace-
temps M ↦→ M ∗ préservant la structure “métrique” galiléenne (gt, dt) et l’orientation