Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

34 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES
en va de même de leur produit (matriciel) : (AB) −1 = B −1 A −1 = B A = AB. Enfin
l’inverse B = A −1 de A vérifie bien B −1 = A = A −1 = B. Remarquons que les
matrices (3.1.6) sont telles que det(A) 2 = 1.
Définition 3.1.6. On appelle groupe orthogonal le groupe
Le sous-groupe
O(n) = {A ∈ L(R n ) | AA = 1}
SO(n) = {A ∈ O(n) | det(A) = 1} (3.1.7)
est le groupe des rotations euclidiennes R n (ou groupe Spécial Orthogonal).
Les transformations de R n données par les matrices orthogonales préservent le
produit scalaire euclidien ; on a bien 〈Au, Av〉 = 〈 AAu, v〉 = 〈u, v〉 pour tous
u, v ∈ R n . Le groupe orthogonal est un groupe d’isométries. 4
Rappelons que l’espace R n est orienté par le choix d’une forme volume ; un choix
traditionnel est donné, pour n vecteurs v1, . . . , vn ∈ R n , par le volume suivant
vol(v1, . . . , vn) = det(v1 . . . vn) (3.1.8)
c’est-à-dire par le déterminant de la matrice n×n dont les colonnes sont constituées
des n vecteurs considérés.
Remarque 3.1.7. Rappelons que dans le cas n = 3 on a la relation suivante
vol(v1, v2, v3) = 〈v1, v2 × v3〉 (3.1.9)
entre forme volume, produit scalaire et produit vectoriel.
Proposition 3.1.8. Toute matrice de rotation A ∈ SO(3) est de la forme
A = (u v w) (3.1.10)
où u, v ∈ R 3 sont des vecteurs unitaires, u = v = 1, et orthogonaux, 〈u, v〉 = 0,
et où w = u × v.
4. Transformations qui préservent la métrique (alias le produit scalaire).