Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.2. CONFIGURATIONS SOLIDES 53
Proposition 4.2.3. L’espace de configuration d’un solide est SO(3) × R 3 .
Nous avons vu au chapitre précédent que cet espace n’est autre que le groupe
(Spécial) euclidien, SE(3).
4.2.2 Champ de vitesse dans les solides
Nous pouvons tirer avantage des résultats obtenus dans le chapitre concernant
les changements de référentiels non inertiels.
Le solide S est maintenant animé d’un certain mouvement et sa configuration à
l’instant t est ainsi déterminée par un couple (A(t), b(t)) ∈ SE(3).
Nous avons vu (cf. (3.2.16)) que la vitesse absolue, v, d’un point M ∈ S du
solide est donnée par v = vrel + ˙ b + ω × rrel où vrel = 0 est sa vitesse relative (nulle
puisque le point M est fixe par rapport au solide), b = OO ′ et rrel = O ′ M ; ici ω
représente le vecteur instantané de rotation du (référentiel lié au) solide par rapport
au référentiel fixe. On résume par la formule donnant la vitesse d’un point M du
solide, à savoir vM = vO ′ + ω × O′ M. Les point M et O ′ étant arbitraires, nous
avons prouvé la
Proposition 4.2.4. La vitesse vM d’un point M d’un solide et reliée à la vitesse vN
d’un autre point N par la relation suivante
vM = vN + MN × ω (4.2.1)
où ω est le vecteur instantané de rotation du solide par rapport au référentiel fixe.
Remarque 4.2.5. Le vecteur instantané de rotation ω ne dépend pas du choix
d’une origine O ′ , il n’est défini que par la matrice de rotation A, cf. (3.2.4) ; la loi
de transformation (4.2.1) montre alors que le couple (v, ω) est un torseur au sens
de la Définition 4.1.3 : nous l’appellerons torseur cinématique.
Exercice 4.2.6. Prouver la propriété d’équiprojectivité de la vitesse
valable pour tous M, N ∈ S.
〈vM, MN〉 = 〈vN, MN〉