Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

52 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
4.2 Configurations solides
Un solide est, par définition, un ensemble de points matériels “indéformable”,
c’est-à-dire dont tous les points restent à distance fixe les uns des autres au cours
du temps.
Définition 4.2.1. Un système de points matériels M1, . . . , MN est appelé solide si
MiMj = const.
à chaque instant et pour tous i, j = 1, . . . , N.
Nous étendons immédiatement cette définition au cas d’une distribution continue
de masse (par exemple une toupie).
Définition 4.2.2. Un système de points matériels S ⊂ E 3 constitue un solide si
à chaque instant et pour tous M, N ∈ S.
MN = const.
4.2.1 Espace de configuration
Comment maintenant fixer la configuration d’un solide ?
Supposons donné un référentiel “fixe” euclidien R = (O, (e1 e2 e3)). Pour déter-
miner la configuration d’un solide S par rapport à ce référentiel, il nous faut fixer
trois points différents du solide, disons une origine O ′ ∈ S et deux autres points
M, N ∈ S non tous trois alignés. Alors O ′ M et O ′ N sont indépendants. Soit e ′ 1
la direction de O ′ M et e ′ 2 celle de O ′ M × O ′ N ; la matrice A = (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3) avec
e ′ 3 = e ′ 1 × e ′ 2 est, grâce à (3.1.10) une matrice de rotation, A ∈ SO(3), complètement
déterminée par O ′ , M, N qui fixent la configuration du solide.
Nous venons de prouver qu’une configuration d’un solide S est déterminée par
une matrice de rotation A = (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3) définissant un repère orthonormé direct en
un point O ′ lié au solide et par un vecteur b = OO ′ donnant la position du point O ′
par rapport à l’origine, O, du référentiel fixe. 1
1. Une configuration d’un solide est donc, en définitive, repère euclidien R ′ = (O ′ , (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3)).