Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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18 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON Nous voyons que p est alors une fonction de q et ˙q définie par (2.1.1) de sorte que l’application FL : (q, ˙q) ↦→ (q, p) constitue une application (locale) du tangent au cotangent de l’espace de configuration. Nous supposerons cette application inversible et d’inverse différentiable, pour que ˙q puisse aussi être vue comme fonction différentiable de p et de q. Nous prouvons maintenant le théorème fondamental suivant : Théorème 2.1.2. Le système des équations de Lagrange (1.3.1) est équivalent au système de 2n équations différentielles du premier ordre, les équations de Hamilton, 1 pour i = 1, . . . , n où ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ dpi dt dq i dt H = = −∂H ∂q i = +∂H ∂pi (2.1.2) n pi ˙q i − L (2.1.3) i=1 est le hamiltonien du système, fonction différentiable H(p1, . . . , pn, q 1 , . . . , q n ) de l’espace des phases. 2 Démonstration. Calculons la différentielle de L(q, ˙q) : on obtient alors facilement dL = n i=1 (∂L/∂qi )dq i + (∂L/∂ ˙q i )d ˙q i ou encore dL = ∂L ∂L dq + d ˙q ∂q ∂ ˙q = ˙p · dq + p · d ˙q en utilisant les équations de Lagrange ∂L/∂q = ˙p (cf. (1.3.1)) et (2.1.1). Une intégration par parties donne alors dL = ˙p · dq + d(p · ˙q) − dp · ˙q ou encore 1. On appelle aussi ces équation canoniques. 2. L’hamiltonien H(p, q) est la transformée de Legendre (2.1.3) du lagrangien L(q, ˙q). L’hamiltonien est défini sur l’espace des phases T ∗ M = (R n ) ∗ × M, c’est-à-dire l’espace “cotangent” de l’espace de configuration M ⊂ R n , alors que le lagrangien est, lui, défini sur le l’espace “tangent” T M = R n × M de l’espace de configuration M.
2.1. EQUATIONS CANONIQUES 19 d(L − p · ˙q) = ˙p · dq − dp · ˙q que l’on réécrit en définissant, cf. (2.1.3), comme H = p · ˙q − L dH = dp · ˙q − ˙p · dq (2.1.4) en mettant en évidence que l’hamiltonien est une fonction H(q, p). On trouve alors aisément ˙q = ∂H/∂p et ˙p = −∂H/∂q. Exercice 2.1.3. Calculer le hamiltonien de l’oscillateur harmonique dont le lagrangien est donné dans l’Exercice 1.1.3. En déduire les équations de Hamilton. Exercice 2.1.4. Supposons que l’énergie cinétique d’un système mécanique soit une fonction T (q, ˙q) et l’énergie potentielle donnée par une fonction V (q). Le lagrangien du système est, on le sait, L = T − V. Trouver la condition à imposer à l’énergie cinétique T pour que le hamiltonien soit de la forme suivante H = T + V (2.1.5) Démonstration. Indication : prouver, en utilisant la formule d’Euler pour les fonc- tions homogènes de degré k, 3 que T doit être une fonction homogène en la variable ˙q de degré k déterminé. Remarque 2.1.5. Le Théorème 2.1.2 reste inchangé dans le cas non stationnaire où le lagrangien L(q, ˙q, t) dépend explicitement du temps. On trouve dans ce cas que les équations de Newton (2.1.2) se complètent par ∂H ∂t = −∂L . (2.1.6) ∂t 3. Rappelons qu’une fonction f(r) est homogène de degré k si f(λr) = λ k f(r) pour tout λ > 0.
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