Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

76 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
Démonstration. Nous avons L = T −V où T est donnée par (4.5.6) et V par (4.5.7).
Le cas particulier I1 = I2, cf. (4.5.3), conduit alors au lagrangien L recherché.
4.5.3 Mouvements de la toupie de Lagrange
Nous sommes maintenant en mesure de présenter une étude qualitative des
mouvements de la toupie de Lagrange en tirant profit de l’existence de trois intégrales
premières des équations du mouvement.
Proposition 4.5.6. Les équations de Lagrange associées au lagrangien (4.5.8) pos-
sèdent trois intégrales premières, à savoir
ℓ3 = ˙ φ(I1 sin 2 θ + I3 cos 2 θ) + I3 ˙ ψ cos θ = const. (4.5.9)
L3 = I3( ˙ φ cos θ + ˙ ψ) = const. (4.5.10)
H = I1
2 ( ˙ φ 2 sin 2 θ + ˙ θ 2 ) + I3
2 ( ˙ φ cos θ + ˙ ψ) 2 + MgR cos θ = const. (4.5.11)
Démonstration. Les variables φ et ψ sont clairement des variables cycliques (1.3.17)
car le lagrangien L n’en dépend pas. Les quantités ℓ3 = ∂L/∂ ˙ φ et L3 = ∂L/∂ ˙ ψ sont
donc des constantes du mouvement. Remarquons que ℓ3 = 〈ℓ, e3〉 est, en fait, la
troisième composante du moment angulaire ℓ ; quant à L3 = I3Ω3, c’est la troisième
composante du moment angulaire L exprimé dans la base mobile. Enfin H = T + V
n’est autre que l’hamiltonien, constante du mouvement car, cf. (2.1.6), on a dH/dt =
−∂L/∂t = 0.
Nous obtenons immédiatement les équations différentielles suivantes pour ψ(t)
et φ(t), résolubles par quadratures 11 une fois connue la fonction θ(t), à savoir
ainsi que, grâce à (4.5.9),
˙ψ = L3
− ˙ φ cos θ (4.5.12)
I3
˙φ = ℓ3 − L3 cos θ
I1 sin2 . (4.5.13)
θ
11. On dit qu’un système d’équations différentielles est résoluble par quadratures si l’intégration
de ce système se ramène à un simple calcul de primitives.