Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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46 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES 3.2.7 Exemple : le pendule de Foucault (1819-1868) L’expérience du pendule de Foucault met en évidence de manière spectaculaire les effets de la force de Coriolis — due à la rotation diurne de la terre — sur le mouvement d’un pendule sphérique, par exemple le pendule de 67 m exposé au Panthéon (Paris). “Vous êtes invités à venir voir tourner la Terre.” Léon Foucault (1851) Pour mettre en œuvre l’expression (3.2.26) de l’accélération relative du pendule de Foucault, nous négligerons comme précédemment les termes du second ordre en la vitesse angulaire ω de la terre ; nous supposerons, de plus, que le pendule effectue des oscillations de faible amplitude (petits mouvement) dans un plan Z ∼ = const. Si nous ne tenions pas compte des forces d’inertie, le mouvement du pendule, de longueur ℓ dans le champ de pesanteur terrestre g = const. > 0, serait régi par les équations du mouvement d’un pendule oscillateur harmonique bidimensionnel, i.e. ⎛ ⎞ ¨X ⎝ Ÿ ⎠ = − 0 g ⎛ ⎞ X ⎝ Y ⎠ . ℓ 0 Ces équations du mouvement doivent maintenant être modifiées en utilisant (3.2.26) pour prendre en compte la vitesse instantanée de la terre (3.2.29) que l’on exprimera plutôt en terme de la latitude λ du pendule ; on a alors ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ¨X X ΩX = −ω cos λ ⎝ Ÿ ⎠ ∼ g = − ⎝ Y ⎠ − 2 ⎝ ΩY = 0 ℓ 0 0 ΩZ = ω sin λ ⎞ ⎛ ⎠ × ⎝ Il vient alors, en posant ω0 = g/ℓ pour la pulsation propre du pendule, ou encore, en posant W = X + iY , ˙X ˙Y 0 ⎞ ⎠ . ¨X − 2ΩZ ˙ Y + ω 2 0X ∼ = 0, (3.2.35) Ÿ + 2ΩZ ˙ X + ω 2 0Y ∼ = 0, (3.2.36) ¨W + 2iΩZ ˙ W + ω 2 0W ∼ = 0. (3.2.37)
3.2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS NON INERTIELS 47 L’intégration de (3.2.38) est aisée : on obtient W (t) ∼ = e −iΩZ t (A cos ω0t + B sin ω0t) (3.2.38) où A, B ∈ C sont des constantes d’intégration. 11 Le plan d’oscillation du pendule de Foucault possède donc une vitesse angulaire constante Ω = −ΩZ = −ω sin λ par rapport à la terre. Ce plan effectue ainsi une rotation de 360 o pendant le temps T = 2π |Ω| = T⊕ | sin λ| (3.2.39) où T⊕ désigne le jour sidéral (la période de rotation de la terre par rapport aux étoiles fixes). A.N . Le plan d’oscillation du pendule de Foucault du Musée des Arts et Métiers (Paris) a donc pour période T = 23 h 56 ′ 4 ′′ / sin(48 o 50 ′ ) ∼ = 31 h 48 ′ . Remarque 3.2.14. Noter que Ω < 0 si 0 < λ ≤ 90 o et donc que la rotation du plan d’oscillation du pendule s’effectue, dans l’hémisphère nord, dans le sens des aiguilles d’une montre. A l’équateur, Ω = 0, le pendule de Foucault oscille dans un plan fixe. 11. Signalons que la solution générale de (3.2.38) est, en fait, W (t) ∼ = e −iΩZ t (A cos ω1t + B sin ω1t) avec A, B ∈ C et ω1 = ω 2 0 + Ω2 Z ; mais ω1 = ω0(1 + O(Ω 2 Z )) ∼ = ω0.
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