Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.4. EQUATIONS D’EULER & MOUVEMENTS DE POINSOT 71
moment angulaire est donné par L = I Ω relativement au solide et par ℓ = A(t)L
dans le repère fixe, cf. (4.3.16) ; il s’ensuit que n = 2ℓ/ √ 2E est bien parallèle au
moment angulaire ℓ. Le plan tangent TxEt en x ∈ Et est donc perpendiculaire au
vecteur constant ℓ. Montrons que ce plan reste fixe au cours du temps. On a 〈ℓ, x〉 =
〈L, X〉 = 〈L, Ω〉/ √ 2E, grâce à (4.4.13) ; mais (4.4.10) entraîne alors 〈ℓ, x〉 = √ 2E =
const. La projection du vecteur x(t) ∈ Et sur la direction du vecteur fixe ℓ reste
constante : le plan TxEt est indépendant du temps t. Comme ˙x = ω × x = 0 puisque
x est parallèle au vecteur instantané de rotation, ω, la vitesse du point de contact
x ∈ Et avec le plan fixe TxEt est nulle et l’ellipsoïde d’inertie roule sans glisser.
Exercice 4.4.6. (i) A quelle condition Ω0(t) = (0, 0, Ω0(t)) est-elle une solution des
équations d’Euler (4.4.4) pour une toupie asymétrique ? (ii) Linéariser les équations
d’Euler au voisinage de cette solution. (iii) En déduire l’expression approchée de
l’évolution temporelle du moment angulaire L(t) = (L1(t), L2(t), L3(t)).
Démonstration. (i) Supposons que l’on ait (4.4.9) avec I3 > 0. Alors, nécessairement
˙Ω0 = 0 et donc Ω0 = const. (rotation stationnaire autour du troisième axe).
(ii) Posons Ω(t) = Ω0(t) + ε Z(t) avec ε ≪ 1 ; on obtient ˙ Z1 ∼ = Z2Ω0(I2 − I3)/I1
et ˙ Z2 ∼ = Z1Ω0(I3 − I1)/I2 avec ˙ Z3 ∼ = 0 modulo des termes en O(ε 2 ).
(iii) Revenant au moment angulaire L = (I1Ω1, I2Ω2, I3Ω3), nous avons donc
˙L1 ∼ = Ω0
1 − I3
L2,
I2
˙ L2 ∼ = −Ω0
1 − I3
L1,
I1
˙ L3 ∼ = 0.
Cherchant la solution générale de ce système avec l’Ansatz général : L1 = A1e iωt et
L2 = A2eiωt avec ω ∈ R et A1, A2 ∈ C, on trouve
ω = Ω0 1 − I3
1 − I3
avec A2 = iA1 (1 − I3/I1)/(1 − I3/I2). Posons A1 = L 1 − I3/I2 où L est une
constante d’intégration que l’on peut choisir réelle ; on trouve alors
L1(t) ∼
= L 1 − I3
cos ωt, L2(t) ∼
= −L 1 − I3
sin ωt, L3(t) ∼ = I3Ω0.
I2
Le moment angulaire L(t) décrit donc une petite ellipse autour du vecteur e ′ 3.
I1
I2
I1