Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

1.3. EQUATIONS DE LAGRANGE 15
Soit L0 = 1
2 m˙r2 le lagrangien libre de la particule non relativiste. Si l’on
soumet ce système à l’action du champ électromagnétique (E, B), la prescription du
couplage minimal consiste à remplacer le lagrangien L0 par le lagrangien suivant
L(r, ˙r, t) = 1
2 m˙r2
+ q 〈A(r, t), ˙r〉 − φ(r, t)
(1.3.18)
qui dépend explicitement du potentiel vecteur A et du potentiel scalaire φ dont
dérive le champ électromagnétique selon
E = −gradφ − ∂A
∂t
et B = rotA. (1.3.19)
Remarque 1.3.7. Nous verrons que les équations de Lagrange pour (1.3.18) ne
mettent en jeu que le champ électromagnétique et pas les potentiels (non physiques)
définis à une transformation de jauge près.
Ecrivons (1.3.18) comme L(r, ˙r, t) = 1
2m 3 j=1 (˙xj ) 2 3
+q j=1Aj ˙x j
−φ où les xj désignent les composantes (cartésiennes) de la position r ∈ R 3 et ˙x j celles de la
vitesse ˙r ∈ R 3 ainsi que Aj ≡ A j celles du potentiel (co)vecteur A ∈ C ∞ (R 3 ×R, R 3 )
choisi.
La i-ème composante de l’impulsion p = ∂L/∂ ˙r est ainsi
pi = ∂L
∂ ˙x i = m ˙xi + qAi
pour tout i = 1, 2, 3. En notant ∂i := ∂/∂x i l’opérateur de dérivée partielle selon x i
et ∂t := ∂/∂t celui de dérivée partielle par rapport au temps t, on obtient aisément
pour tout i = 1, 2, 3.
∂L
= q
∂xi 3
j=1
∂iAj ˙x j
− ∂iφ