Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT
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4.5. TOUPIE DE LAGRANGE 75<br />
On trouve, en eff<strong>et</strong>, ˙ A = ˙<br />
A3(φ)A1(θ)A3(ψ)+A3(φ) ˙<br />
A1(θ)A3(ψ)+A3(φ)A1(θ) ˙ A3(ψ)<br />
<strong>et</strong> donc, puisque A −1 = A3(ψ) −1 A1(θ) −1 A3(φ) −1 , il vient<br />
A −1 ˙<br />
A = + A3(ψ) −1 A1(θ) −1 A3(φ) −1 ˙ A3(φ)A1(θ)A3(ψ)<br />
+ A3(ψ) −1 A1(θ) −1 ˙<br />
A1(θ)A3(ψ)<br />
+ A3(ψ) −1 ˙<br />
A3(ψ)<br />
= + A3(ψ) −1 A1(θ) −1 ˙ φ j(e3)A1(θ)A3(ψ)<br />
+ A3(ψ) −1 ˙ θ j(e1)A3(ψ)<br />
+ ˙ ψ j(e3)<br />
= + ˙ φ j(A3(−ψ)A1(−θ)e3)<br />
+ ˙ θ j(A3(−ψ)e1)<br />
+ ˙ ψ j(e3)<br />
= + ˙ φ j(sin θ sin ψ e1 + sin θ cos ψ e2 + cos θ e3)<br />
+ ˙ θ j(cos ψ e1 − sin ψ e2)<br />
+ ˙ ψ j(e3),<br />
c’est-à-dire l’expression atten<strong>du</strong>e.<br />
L’énergie cinétique <strong>du</strong> <strong>solide</strong> T = 1<br />
1<br />
〈Ω, IΩ〉 = 2 2 (I1Ω2 1 + I2Ω2 2 + I3Ω2 3) est alors<br />
T = + I1<br />
2 ( ˙ φ sin θ sin ψ + ˙ θ cos ψ) 2<br />
+ I2<br />
2 ( ˙ φ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ) 2<br />
+ I3<br />
2 ( ˙ φ cos θ + ˙ ψ) 2 .<br />
L’énergie potentielle <strong>du</strong> <strong>solide</strong> (S, ϱ) est V = <br />
(4.5.6)<br />
S ϱgz dxdydz = Mg〈R, e3〉, i.e.<br />
V = MgR cos θ. (4.5.7)<br />
Proposition 4.5.5. Le lagrangien de la toupie de Lagrange (4.5.3) est donné par<br />
L = I1<br />
2 ( ˙ φ 2 sin 2 θ + ˙ θ 2 ) + I3<br />
2 ( ˙ φ cos θ + ˙ ψ) 2 − MgR cos θ (4.5.8)