AA.VV. - Racconti matematici - CTS Basilicata

ai quali i matematici, tolta una stretta cerchia di specialisti, tendono a fare spallucce,
ritenendo che, quando non sfondano delle porte aperte, i formalisti, come pure i loro
critici, inventano problemi che nella pratica non incontra mai nessuno (e la pratica,
ovviamente, non è la vita umana, ma le cataste di lemmi che costituiscono il lavoro
matematico).
La macchina
Di che cosa si occupa la matematica pura? Della verità. A che cosa serve? A
produrre verità. È il suo unico fine e la sua unica giustificazione: produrre enunciati
che non servono a nulla, che non fanno riferimento a niente di ciò che l’uomo incontra
nel mondo fisico, ma che sono veri, vale a dire dimostrati. In un’epoca in cui la
scienza opponeva al determinismo laplaciano inquietanti chimere come gatti al tempo
stesso vivi e morti, fotoni che seguono due traiettorie distinte senza dividersi e
fenomeni che esistono solo se c’è qualcuno a osservarli, quest’arrogante pretesa di
dire, se non tutta, quantomeno nient’altro che la verità rischiava fortemente di vedersi
frustrata. Da cui il programma difensivo concepito da Bertrand Russell e Alfred
Whitehead prima, e David Hilbert poi: riunire tutti i princìpi validi del ragionamento
matematico in un sistema unico da cui sarebbero derivate tutte le verità deducibili – o,
più precisamente, dimostrare che un tale sistema può esistere.
Nel 1928, dunque, Hilbert invitò i colleghi del mondo intero a concentrarsi su
queste tre domande:
1. La matematica è completa? i.e.: ogni enunciato che produce può essere
dimostrato o confutato?
2. La matematica è consistente? i.e.: è possibile dimostrare che l’enunciato 2 + 2 =
5 non può e non potrà mai essere dimostrato attraverso una procedura valida?
3. È decidibile? i.e.: dato un sistema assiomatico e una proposizione scelta
arbitrariamente, esiste una procedura che consenta di determinare se tale
proposizione sia [decidibile, vale a dire che possa essere dichiarata] vera o falsa
all’interno del sistema?
Hilbert, formulandole, credeva che rispondere affermativamente a queste tre
domande fosse possibile, e anche in tempi piuttosto brevi. Confidava in un triplo sì per
risanare definitivamente le fondamenta della matematica, insieme formale completo,
consistente e decidibile, su cui poter contare. Allora sarebbero anche potuti crollare gli
imperi, vacillare i saperi, e anche se l’umanità fosse mutata o scomparsa, o addirittura
la formula dell’acqua avesse smesso di essere H2O, sarebbe sempre rimasto questo, un
sistema che avrebbe detto la verità, incarnato la verità, anche se non fosse rimasto
nessuno per conoscerla.
Ma le cose andarono diversamente. Questo programma di purificazione formale
aprì su abissi di incertezza e mise in luce una specie di nucleo ribelle, paradossale, che
qualsiasi ragionamento matematico racchiude. L’evidenziazione di questo nucleo, una
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