AA.VV. - Racconti matematici - CTS Basilicata

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fece questa proposta: lasciare l’ospite della stanza 1 nel suo alloggio attuale, spostare l’ospite della 2 nella 1.001, quello della 3 nella 2.001 eccetera. Fatto ciò, mettere gli ospiti del secondo hotel nelle stanze 2, 1.002, 2.002 eccetera del nostro hotel, gli ospiti del terzo hotel nelle stanze 3, 1.003, 2.003, eccetera. Il progetto venne respinto, perché non era chiaro dove si dovessero alloggiare gli ospiti del milleunesimo hotel; dopotutto, quelli dei primi 1.000 hotel avrebbero già occupato tutte le stanze. Ci ricordammo in questa occasione che quando il Senato di Roma, nel suo servilismo, si era offerto di rinominare il mese di settembre “Tiberio” in onore dell’imperatore (ai mesi precedenti erano già stati dati i nomi di Giulio Cesare e Augusto), Tiberio aveva risposto causticamente: «E cosa offrirete al tredicesimo Cesare?» Il contabile dell’hotel propose una variante eccellente. Ci suggerì di fare uso delle proprietà della progressione geometrica per risistemare gli ospiti in questo modo: mettere quelli del primo hotel nelle stanze 2, 4, 8, 16, 32 eccetera (questi numeri formano una progressione geometrica in base 2). Gli ospiti del secondo hotel andavano messi nelle stanze 3, 9, 27, 81 eccetera (questi sono i membri della progressione geometrica in base 3). La sua proposta era di risistemare gli ospiti degli altri hotel in una maniera simile. Ma il direttore gli domandò: — E dovremmo usare la progressione in base 4 per il terzo hotel? — Naturalmente, — rispose il contabile. — Allora non otteniamo nulla: in fondo, nella stanza 4 abbiamo già un ospite del primo hotel. Dove metteremo la gente del terzo hotel? Venne il mio turno di parlare; all’Accademia Stellare non facevano studiare cinque anni di matematica per niente. — Usate i numeri primi. Mettete gli ospiti del primo hotel ai numeri 2, 4, 8, 16 ... quelli del secondo hotel nei numeri 3, 9, 27, 81 .... quelli del terzo nei numeri 5, 25, 125, 625 ... quelli del quarto nei numeri 7, 49, 343... — E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti? — chiese il direttore. — No. In effetti, se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell’altro. Se p e q sono numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono numeri naturali, allora p m ≠ q n . Il direttore diede ragione al mio metodo e trovò immediatamente una miglioria grazie alla quale bastavano solo i numeri primi 2 e 3. Propose cioè di mettere gli ospiti della stanza m-esima dell’hotel n-esimo nella stanza 2 m 3 n . Questo funziona perché se m ≠ p e n ≠ q, allora 2 m 3 n ≠ 2 p 3 q . Quindi nessuna stanza avrebbe avuto due occupanti. Questa proposta deliziò tutti. Era una soluzione al problema che avevamo supposto insolubile. Ma né il direttore né io vincemmo il premio; troppe stanze sarebbero rimaste vuote, se avessimo adottato la nostra soluzione (con la mia, le stanze come la 6, la 10, la 12 e più in generale tutte le stanze che non era potenze di primi; con quella del direttore, tutte le stanze i cui numeri non potevano essere scritti nella forma 2 m 3 n ). La soluzione migliore fu proposta da uno dei filatelici, il presidente dell’Accademia di Matematica della galassia del Cigno, che suggerì di procedere a una tabulazione nelle cui righe comparisse il numero dell’hotel, e nelle colonne i numeri delle stanze. Per 40
esempio, all’intersezione della riga 4 con la colonna 6 sarebbe comparsa la sesta stanza del quarto hotel. Ecco la tabella (in realtà, solo la parte superiore, perché scriverla per intero richiederebbe l’impiego di infinite righe e colonne). (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ... (1,n) ... (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ... (2,n) ... (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ... (3,n) ... (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) ... (4,n) ... . . . . . . (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) ... (5,n) ... . . . . . . — E ora sistemate gli ospiti secondo i quadrati, — disse il matematico-filatelico. — Cosa? — Il direttore non capiva. — Secondo i quadrati. Nella stanza i mettete l’ospite di (1,1), cioè della prima stanza del primo hotel; nella 2 mettete l’ospite di (1,2), cioè della seconda stanza del primo hotel; nella 3 mettete l’ospite di (2,2), la seconda stanza del secondo hotel, e nella 4... l’ospite di (2,1), la prima stanza del secondo hotel. In questo modo avremo sistemato gli ospiti del quadrato in alto a sinistra con lato 2. Dopo di che mettete l’ospite di (1,3) nella stanza 5, di (2,3) nella stanza 6, di (3,3) nella 7, di (3,2) nella 8, di (3,1) nella 9. (Queste stanze riempiono il quadrato di lato 3). E continuiamo in questo modo: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ... (1,n) ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ (2,1) ← (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ... (2,n) ... ↓ ↓ ↓ ↓ (3,1) ← (3,2) ← (3,3) (3,4) (3,5) ... (3,n) ... ↓ ↓ ↓ (4,1) ← (4,2) ← (4,3) ← (4,4) (4,5) ... (4,n) ... ↓ ↓ (5,1) ← (5,2) ← (5,3) ← (5,4) ← (5,5) ... (5,n) ... | | . | . 41
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