teoria de controle

Aplicando a transformada Z na equação (3.17), temos:
{ ( )} = − { ( −1) } −− { ( − + 1) } − { ( − )} + { ( )} + { ( − 1) } + + { ( − )}
1 −1 0 1
n n m
Z yk aZ yk a Z yk n aZ yk n bZ uk bZ uk bZ uk m
(3.18)
Supondo condições iniciais nulas, ou seja,
y(0) = y(1) = = yn ( − 1) = u(0) = u(1) = = um ( − 1) = 0
aplicamos a propriedade da translação no tempo dada pela equação
(3.19), a seguir, na equação (3.18).
n
Z f k n z F z
O resultado é dado pela equação (3.20):
(3.19)
Yz ( ) = −azYz ( ) −−a z Yz ( ) − az Yz ( ) + bUz ( ) + bzUz ( ) + +
bz Uz ( )
− 1 − n + 1 − n − 1
− m
1 n−1 n 0 1
m
Yz ( ) + azYz ( ) + a z Yz ( ) + az Yz ( ) = bUz ( ) + bzUz ( ) + +
bz Uz ( )
− 1 − n + 1 − n − 1
− m
1 n−1 n 0 1
m
Isolando Y(z) e U(z), temos:
(3.20)
−1 − n+ 1 −n −1
−m
Y( z) ⎡
⎣
1 + az
1
+ an−
1z + anz ⎤
⎦
= U( z)
⎡
⎣
b0 + bz
1
+ +
bmz
⎤
⎦
Logo, obtemos a função de transferência discreta G(z)=Y(z)/U(z)
na equação (3.21) e representada pela Figura 3.6.
Yz ( ) b + bz + b z + b z
Gz ( ) = =
Uz ( ) 1 az a z a z
Se n ≥ m, temos então:
−1 − m+ 1 −m
0 1 m−1
m
−1 − n+ 1 −n
+
1
+
n−1
+
n
Yz ( ) bz + bz + b z + b z
Gz ( ) = =
Uz ( ) z az a z a
n n−1 n− m+ 1 n−m
0 1 m−1
m
n n−1 1
+
1
+
n−1
+
n
(3.21)
Figura 3.6 | Esquemático de uma função de transferência discreta
Fonte: elaborada pela autora.
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U3 - Introdução a sistemas de controle digital