teoria de controle

A outra abordagem para o projeto do controlador para realimentação
de estados utiliza a forma canônica controlável do sistema das
equações (2.20) e (2.21). A metodologia consiste em aplicar as mesmas
etapas anteriores, mas nesse caso há uma particularidade que veremos
a seguir.
Retomando o sistema na forma canônica controlável, temos:
⎡ẋ
ẋ
⋮
ẋ
ẋ
⎣⎢
1
2
n−1
n
⎤ ⎡0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
=
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ 1
⎦⎥
⎣⎢
−a −a −a ⋯ −a
0 1 2 n−1
⎡ẋ
ẋ
y = ⎡ ⎣ bn
bn
b b ⎤ −1 ⋯ 2 1 ⎦ ⋮
ẋ
⎣⎢
ẋ
1
2
n−1
n
⎤
⎦⎥
⎤ ⎡ẋ
ẋ
⋮
ẋ
⎦⎥
⎣⎢
ẋ
1
2
n−1
n
⎤ ⎡0⎤
0
+
⋮ u
0
⎦⎥
⎣⎢
1⎦⎥
A equação característica desse sistema é dada por:
n
n−1
n−2
s + a s + a s + + a =
(2.25)
n−1
n−2
0 0
Aplicando a lei de controle u =− Kx tal que K = ⎡ ⎣ k 1 k 2 k n
⎤ ⎦ , a
matriz de estados em malha fechada resulta em:
⎡ 0 1 0 ⋯ 0
A− BK =
0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⎢⎣
− ( a0 + k1) − ( a1+
k2) − ( a2 + k3) ⋯ − an−1
+ k
( )
Para obter a equação característica em malha fechada, fazemos:
n
n
n
det sΙ−⎡A−
BK⎤ −1
−2
( ⎣ ⎦ )= s + ( an−1
+ kn) s + ( an−2 + kn−1) s + + ( a1+
k2) s+ ( a + k )=
Observe a semelhança entre as equações (2.25) e (2.26).
n
⎤
⎦⎥
0 1 0 (2.26)
Para sistemas na forma canônica controlável, em malha fechada,
pode-se escrever a equação característica a partir da equação
característica em malha aberta e adicionando o k i apropriado a cada
coeficiente. Isso facilita e evita cálculo complexos em casos de sistemas
com ordem maior que 2.
Tomando agora a equação característica desejada como sendo:
U2 - Projeto de sistemas de controle em espaço de estados 79