teoria de controle

Resolução: utilizaremos o princípio da dualidade para obter o observador
por meio do projeto do controlador. Primeiramente, escreveremos o
sistema dual com as matrizes A , B e C tal que:
ż = Az ̃ + Bv ̃
w = Cz ̃
T
A= A , B
= C
em que
C
T
= B
T
⎡
∴ = − ⎤
= ⎡ ⎤
T 8 4 T 1
T
A , B , C = ⎡ ⎤
⎢
⎣−
⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 0
4 0
⎦ .
⎦ ⎣075
, ⎦
O projeto consiste em encontrar L T = ⎡ ⎤ ⎣ 1 2 ⎦ que satisfaça os polos
desejados. Iniciaremos o projeto seguindo as etapas definidas na
Seção 1.
Etapa 1: verificar se o sistema é controlável.
Observe que, se o sistema dual for controlável, o sistema original é
observável e vice-versa. A observabilidade pode então ser obtida a partir
do sistema original ou a partir da controlabilidade do sistema dual. Aqui
nós utilizaremos a segunda opção. Assim:
L = L −075
, L
2 2 1
L L ,
Æ Æ AB ÆÆ MÆ
C = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ ⇒ C = ⎡ − ⎤
2= 2 −0 25
1 5 L 1= L1+
5L
1 0
2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→M ⎢
⎣075 , −4⎥
C = ⎡ 2 linhas/colunas
^ ^
⎤
M Æ
c
B ^AB
^Mc
^Mc
⎢
⎦
⎣0 1⎥ ⇒ linearmente
⎦ independentes
^
∴ posto( M Æ C )= 2 = n → O sistema dual é controlável.
c
Etapa 2: obter a equação característica de A= A− BK no sistema
T T T
original. No sistema dual fica: A= A − C L . Primeiramente,
obteremos A :
⎡
T T T
A= A − C L = − 8 4⎤
⎢
⎣−
⎥ − ⎡ 1 ⎤
⎢ ⎥ ⎡ ⎣
4 0⎦
⎣075
, ⎦
⎡
= − 8 − 1 4 − ⎤
2
⎢
⎣−4−0, 751 −075
, ⎥
2⎦
⎤
⎦ = ⎡ − 8 4⎤
⎢
⎣−4 0⎥ − ⎡
⎤
1 2
⎢
⎥ =
⎦ ⎣075 , 1 0,
752⎦
1 2
ˆ
( )
æ 1 0 8 1 4 ö æ
2 s 0 8 1 4 ö
2
det s A det é ù é - - - ù s
det
é ù é - - -
ù
I- = - = - =
ç 0 1 4 0,75 1 0,75 è
ê ú ê ú ê
2 0 sú
ê 4 0,75 1 0,75 ú
ë û ë- - - û÷ ø çèë û ë- - - 2ûø÷
æ s 8 1 4 ö
2
det é + + - + ù
ç ê ú÷
÷ = ( s + 8 + 1)
s + 0,75
çê ( 2) -- ( 4 + 2)( 4 + 0,751)
=
ç èë4 + 0,751 s + 0,752
ú÷ ûø
2
= s + 8s+ s+ 0,75 s+ 0,75 8 + 0,75 -- ( 16 - 4× 0,75 + 4 + 0,75
)
1 2 2 2 1 1 2 2 1
2
= s + s( 8 + + 0,75 ) + ( 6 + 0,75 + 16 + 4× 0,75 -4 - 0,75
)
1 2 2 2 1 1 2 2 1
2
= s + s( 8 + + 0,75 ) + ( 2 + 16 + 3
)
1 2 2 1
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U2 -Projeto de sistemas de controle em espaço de estados