teoria de controle

&&
2 k Fr
() t
rt () = rt () α&
() t − +
2
r () t M
( 138 . )
2rt
&() α&
() t Ft
() t
α&&
() t =− +
2
rt () Mr () t
(1.39)
Sendo r() t a distância entre o satélite e a Terra, α( t ) o deslocamento
seu angular e k uma constante gravitacional.
O sistema apresenta duas entradas de controle: u1 = Fr
() t e u 2 = F(),
t
t
forças de tração radial e tangencial, respectivamente, e duas saídas: r()
t
e α( t ), sendo, portanto, um sistema de múltiplas entradas e múltiplas
saídas (MIMO).
As variáveis de dinâmicas de estado desse sistema são:
T
T
[ x1 x2 x3 x4] = ⎡
⎣ rt () r(t) & α(t) α & (t)]
.
Você é o projetista responsável por essa análise, como
deverá proceder?
Resolução do problema:
Para iniciar as análises desse sistema, é necessário obter uma
representação linear em espaço de estados para que técnicas de
controle linear possam ser aplicadas.
Para resolução desse problema, devemos, inicialmente, escrever as
equações de estados a partir das equações (1.38) e (1.39):
x&
= r&
() t = x ⇒ f = x
1 2 1 2
x&
&&
2 k u1
r t x x
x M f x x 2 k u1
2
= () =
1 4
− + ⇒
2
2
=
1 4
− +
2
1
x M
1
x&
= α&
() t = x ⇒ f = x
x&
3 4 3 4
4
2xx
2 4
u2
2xx
= α&&
() t = − + ⇒ f
2 4
= −
x Mx
x
1
As saídas desse sistema são:
y = r()
t = x ⇒ g = x
1 1 1 1
y = α( t) = x ⇒ g = x .
2 3 2 3
1
2 4
1
u2
+
Mx
O ponto de equilíbrio desse sistema
T
T
é dado por u0 = [ u1 u2 ] = ⎡ ⎣
Fr
() t Ft
() t ⎤
0 0 ⎦
e
T
0 0 0 0
T
x0 = ⎡x1
x2
x3
x ⎤ ⎣ 4 ⎦
= ⎡
⎣ r0() t r(t) &
0
α0(t) α &
0(t)
] , dessa forma, a equação
(1.10) deve ser satisfeita.
Aplicando as equações matriciais (1.18) a (1.21) para o ponto de
equilíbrio, temos:
2
1
20
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados