teoria de controle

Resolução:
Para obter a resposta desejada, devemos alocar os polos para uma
posição específica no plano complexo. Utilizaremos o projeto de um
controlador por realimentação de estados.
Primeiramente, obteremos a forma canônica controlável do
sistema. Em malha aberta a função de transferência resulta:
Ts ( ) G s G s
= ( ) ( )
V
H
5
5
b3
Ts ( ) = =
s + 04 , s 08 , s 5 s 3 + 62 , s 2
3 2
+ 632 , s + 1,6
s + a s + as+
a
=
( )( + )( + )
A forma canônica controlável desse sistema resulta em:
⎡ x
⎤ ⎡
1 0 1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡
1 0⎤
x
2
=
0 0 1
x
2
+
0
u
x
⎣⎢
3 ⎦⎥
⎣⎢
−16 , −632 , −6,
2
⎦⎥
⎣⎢
x
3 ⎦⎥
⎣⎢
1
⎦⎥
⎡ x ⎤
1
y = ⎡ ⎤ ⎣ 5 0 0
⎦ x
2
⎣⎢
x
3 ⎦⎥
2
1 0
Não é necessário verificar a controlabilidade do sistema, pois
sistemas na forma canônica controlável são sempre controláveis. Por
esse motivo, vamos direto à etapa 2 de projeto.
Etapa 2: obteremos a equação característica de A= A−
BK
considerando K = ⎡ ⎣ k 1 k 2 k 3
⎤ ⎦ . Por meio da equação (2.25):
det sΙ−⎡A−BK⎤
3
2
1
( ⎣ ⎦)= s + ( a2 + k3) s + ( a1+
k2) s + ( a0 + k1)=
0
3
2
1
= s + ( 62 , + k ) s + ( 632 , + k ) s + ( 16 , + k )= 0
3
Etapa 3: agora, obteremos a equação característica desejada
para igualar os coeficientes. Foi dado que o overshoot máximo seja
5% e tempo de acomodação seja 10 minutos, ou seja, %SP=5 e
T s = 10, portanto:
( SP )
( SP )
( )
( )
−ln % /100 −ln 5 /100 4 4
ζ = = = 0,6901, ω
0,5796
π
2 ln 2 % /100 π
2 ln 2
n
= = =
+ + 5 /100
ζ Ts
0,6901⋅10
Como o sistema é de terceira ordem, consideraremos dois polos
complexos conjugados que forneçam a resposta com as características
solicitadas e um polo real 10 vezes mais rápido que os demais. Esse
polo real é um polo não dominante e por apresentar resposta muito
mais rápida que os demais, sua dinâmica não é observada na resposta
do sistema.
2
1
82
U2 -Projeto de sistemas de controle em espaço de estados