i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

More documents

Recommendations

Info

1.1.2. Pertürbasyon teorisinin genel tanımı ve tarihçesi 7 Pertürbasyon teorisi [46], tam olarak çözülemeyen bir problemin yaklaşık çözümünü bulmak için kullanılan matematiksel metotlar içerir. Eğer problem, bir “küçük” terim eklenerek tam olarak çözülebilen probleme formüle ediliyorsa probleme pertürbasyon teorisi uygulanabilir. Pertürbasyon teorisi, problemin çözümünü, tam olarak çözülebilen problemden sapmayı ölçen bir “küçük” parametrenin kuvvet serisi cinsinden bulmayı amaçlar. Kuvvet serisindeki ilk terim, tam olarak çözülebilen problemin çözümü iken, diğer terimler, çözümde başlangıç problemine göre sapmayı tanımlarlar. A çözümüne yaklaşım için aşağıdaki küçük parametreye göre açılan (burada parametre ε ’dur) seri verilsin: A ε 0 1 2 = ε A0 + ε A1 + A2 + ..... Bu örnekte A 0 , tam olarak çözülebilen başlangıç probleminin bilinen çözümünü ve A ,.... , bir sistematik yöntemle iteratif olarak bulunan daha yüksek dereceden 1, A2 çözümleri gösterir. ε ’ un çok küçük olması durumunda, yukarıdaki serinin yakınsak olması, küçük ε değeri için bulunan daha yüksek dereceden çözümlerin daha az önemli olduğu anlamına gelir. Bir yaklaşık pertürbasyon çözümü, seriyi bir yerden sonra kesip, genelde sadece ilk iki terimi, başlangıç çözümü ve “birinci derece” pertürbasyon düzeltmesini, bırakarak elde edilir. ε çok küçük olmasına rağmen, bazı problemlerde çözüm yakınsak olmayabilir. Birçok önemli problemde küçük pertürbasyonların verilmesi, çözümlerin niceleyici ve niteleyici özelliklerini ortaya koyar fakat bu
8 özellikler, pertürbe edilmeyen problemlerin çözümlerininkilerden oldukça farklı olabilirler. Örneğin ; ( 0) 1 u′ + u − ε = 0 , u = ve ( 0) 1 u′ − u − ε = 0 , u = −t denklemleri göz önüne alınsın. Birinci denklemin çözümü u( t) = ε + ( 1 − ε ) e iken −t pertürbe edilmemiş denklemin çözümü u ( t) = e ( t) − u ( t) ≤ ε 0 ’dir. 1 t olduğunda 0 t 0 ’ dir ve u( t) − u0 ( t) = ε 1− e elde u , denklemin yaklaşık çözümü olarak düşünülemez. Pertürbasyon metotları, orjinal problemin, tam olarak çözmeye yetecek kadar basitleştirilmiş formuyla başlar. Genel yöntem, fen ve mühendislikte çok kullanılan matematiksel bir araçtır: basitleştirilmiş bir problemle başlamak ve aşamalı olarak düzeltmeler eklerken düzelmiş problemin giderek gerçeği temsil eden formüle yakınlaşmasını sağlamak. Hemen hemen bütün pertürbasyon metotları, bir denklemde küçük bir parametrenin olması gerektiği varsayımına dayanır. Bu küçük parametre varsayımı, pertürbasyon tekniklerinin uygulamalarını önemli ölçüde kısıtlar. Nonlineer problemlerin özellikle kuvvetli nonlineerliğe sahip olanların hepsinde küçük parametreler yoktur. Bir küçük parametrenin belirlenmesi zor ve özel teknikler gerektirir. Küçük parametrenin uygun seçimi ideal sonuçlar vermesine rağmen, uygunsuz seçimi de ciddi anlamda kötü sonuçlara yol açabilir. Uygun bir küçük parametre bulunsa bile, çoğu durumda, pertürbasyon metotları ile bulunan yaklaşık çözümler, sadece parametrenin küçük değerleri için geçerlidir. Örneğin, çoklu ölçek metoduyla (the method of multiple scales) çözülen yaklaşımlar, sistem parametresi küçük olduğu sürece geçerlidir. Fakat yaklaşımlara da tamamen güvenilmez çünkü parametrenin ne kadar küçük olması gerektiğine dair bir kriter yoktur. Buna rağmen pertürbasyon teorisi, birçok dönemde, birçok farklı alanda kullanılmıştır. 20. yüzyılın sonunda, kuantum fiziğinde pertürbasyon teorisi ile ilgili göze çarpan memnuniyetsizlik, sadece açılımda ikinci dereceden öteye gitmedeki zorlukları
Page 1 and 2: i ÖZET Bu çalışmanın amacı, h
Page 3 and 4: iii ÖNSÖZ Bu çalışmanın her a
Page 5 and 6: v 2.2. Fokker-Planck Denkleminin Ç
Page 7 and 8: 2 analysis method” adlı kitabın
Page 9 and 10: I. BÖLÜM 4 1. HE’NĐN HOMOTOPĐ
Page 11: 1.1. Şekil 6 Đlk koşul, H ‘nin
Page 15 and 16: ( p) = f ( ) − f ( x ) + pf ( x )
Page 17 and 18: x n+ 1 veya ( ξ n ) ′ ( ξ ) (
Page 19 and 20: 14 ( ) ( )[ ] ... 6 5 4 3 2 1 5 6 4
Page 21 and 22: 16 rrrr rrrr H v( , p), p) = L( v)
Page 23 and 24: 18 1.2.1. Denklemin çözümü içi
Page 25 and 26: 1.2.2. Isı-tipi modeller 20 Yerkab
Page 27 and 28: 22 p parametresi 1’e yakınsarken
Page 29 and 30: 2 5 x t v 5 ( x, y, t) = , 5! 2 6 y
Page 31 and 32: Sistem çözülerek v 0 4 4 4 ( x y
Page 33 and 34: . 2 2 n ∂ vn 1 2 ∂ vn−1 p : =
Page 35 and 36: 2 2 0 ∂ v0 ∂ u0 p : − = 0, 2
Page 37 and 38: 2 t 2 t ( ) = ( + )( − ) + ( −
Page 39 and 40: 34 (1.2.13) denkleminde, p parametr
Page 41 and 42: 1.2.5. Isı-tipi modellerde yakıns
Page 43 and 44: 2 t t için 1+ 2! t 1+ t − e Her
Page 45 and 46: 40 Elde edilen seri çözümün yak
Page 47 and 48: 42 Her [ ] 2 , 0 ∈ t için 1 1804
Page 49 and 50: 4 4 4 3 x y z t v 2 ( x, y, z, t) =
Page 51 and 52: V3 − u ≤ 3 γ v0 − u bulunur.
Page 53 and 54: 2 3 2 5 3 5 2 x t x t 2 2 t t V2
Page 55 and 56: 50 Elde edilen seri çözümün yak
Page 57 and 58: 52 Her ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈
Page 59 and 60: Diferansiyel denklem sisteminden 0
Page 61 and 62: V 1 3 − u = 1 = = v 1 0 + v 1 1 +
Page 63 and 64:
2 t 2! 3 t 3! 4 t 4! 5 t 5! 2 2 t
Page 65 and 66:
Buradan, lim Vn − u = n→∞ n
Page 67 and 68:
62 denklemi denir. Benzer kısmi di
Page 69 and 70:
( x, t) = 0 v 4 . . . , vn x, t = (
Page 71 and 72:
66 0 p : ∂v0 ∂u0 − = 0, ∂t
Page 73 and 74:
denklem sistemi elde edilir. Başla
Page 75 and 76:
70 Görüldüğü gibi, metot etkin
Page 77 and 78:
72 parametre kullanılır. Bu metot
Page 79 and 80:
Bulunan bu denklemin çözümü: (
Page 81 and 82:
76 seçilen bir iterasyon çarpanı
Page 83 and 84:
Kanıt: 78 (a) Taylor teoremine gö
Page 85 and 86:
Kanıt: (2.1.10) tanımına göre;
Page 87 and 88:
82 ⎧0, m ≤ 1 χ m = ⎨ (2.1.15
Page 89 and 90:
84 ( H ( x, t) ψ N[ φ] ) = H ( x,
Page 91 and 92:
2.1.2.5. Teorem ∈ [ 0, 1] 86 q bi
Page 93 and 94:
88 derece deformasyon denklemine g
Page 95 and 96:
90 r L yardımcı lineer operatör
Page 97 and 98:
Kanıt: Eğer seri yakınsak ise s
Page 99 and 100:
94 Liao tarafından kanıtlandığ
Page 101 and 102:
96 (2.2.2) denkleminden, sıfırın
Page 103 and 104:
1.3.2.Örnek için (1.3.3) başlang
Page 105 and 106:
u + 3 ( x, t) = −h( 1+ h) 3 h t 2
Page 107 and 108:
102 olarak bulunur. Buradan (2.2.8)
Page 109 and 110:
1.3.4.Örnek için (1.3.6) denklemi
Page 111 and 112:
106 r ∂u ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Page 113 and 114:
108 (2.2.11) denkleminden, sıfır
Page 115 and 116:
110 2 2 2 2 2 2 h x t 2 u( x, t) =
Page 117 and 118:
112 h değeri 4.dereceden yaklaşı
Page 119 and 120:
114 h değeri 4.dereceden yaklaşı
Page 121 and 122:
116 Tablolar incelendiğinde ve n =
Page 123 and 124:
118 2.2.Şekil h = −0. 5 için 4.
Page 125 and 126:
120 2.5.Şekil h = −0. 07 için 4
Page 127 and 128:
122 2.8.Şekil h = −0. 03 için 4
Page 129 and 130:
124 Örneğin, h ’nin geçerli b
Page 131 and 132:
126 2.14.Şekil h = −0. 09 için
Page 133 and 134:
1.3.5.Örnek için: app xxt 2 3 4 (
Page 135 and 136:
130 geçerli bölgesinden h = −1
Page 137 and 138:
132 yaklaşık çözümlerinin de
Page 139 and 140:
134 h ’nin geçerli bölgesinden
Page 141 and 142:
136 olduğu görülür. Yine her ik
Page 143 and 144:
138 3.5.a. Şekil HAM ile bulunan h
Page 145 and 146:
140 iken homotopi pertürbasyon met
Page 147 and 148:
142 [14] Ghorbani A, Saberi-Nadjafi
Page 149 and 150:
144 [42] Sajid M., Hayat T., 2009,
Page 151:
KĐŞĐSEL BĐLGĐLER Adı Soyadı
show all

i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?