i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

2 5
x t
v 5 ( x,
y,
t)
= ,
5!
2 6
y t
v 6 ( x,
y,
t)
= ,
6!
.
.
.
2 2n
y t
v2n
( x,
y,
t)
= ,
( 2n)!
.
.
.
v
2n
+ 1
( x,
y,
t)
2 2n+
1
x t
= ,
( 2n
+ 1)!
çözümleri elde edilir.
(1.2.13) denkleminde p parametresi 1’e yakınsarken (1.2.21) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere
u
2
y t
2!
2
+ ...
2
x t
3!
3
2
y t
4!
24
2
x t
5!
2
y t
6!
2 2
( x,
y,
t)
= y + x t + + + + + + .......... .
4
( ) ( ) ⎟ 2 4 6
2n
3 5
2n+
1
2⎛
t t t t ⎞ 2⎛
t t t ⎞
= y ⎜
⎜1+
+ + + .... + + .... ⎟ + x ⎜
⎜t
+ + + ........ + + ....... (1.2.25)
⎝ 2!
4!
6!
2n
! ⎠ ⎝ 3!
5!
2n
+ 1 ! ⎠
elde edilir.
Bulunan çözüm serisi kapalı formda yazılırsa
2
2
( x,
y,
t)
y cosh t + x t
u = sinh
(1.2.26)
problemin tam çözümünü verir.
1.2.2.3.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
z,
t)
= 0,
4 4 t
u u ( 1,
y,
z,
t)
= y z ( e −1),
( x,
0,
z,
t)
= 0,
4 4 t
u u ( x,
1,
z,
t)
= x z ( e −1),
(1.2.27)
( x,
y,
0,
t)
= 0,
4 4 t
u u
( x,
y,
1,
t)
= x y ( e −1),
5
6