i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

2.2. Fokker-Planck Denkleminin Çözümü için Homotopi Analiz Metodu
93
N nonlineer bir operatör, x r uzay, t zaman değişkenlerini göstermek üzere
N u x,
t =
r
, (2.2.1)
[ ( ) ] 0
nonlineer denklemi göz önüne alınsın.
Liao, klasik homotopi kavramını kullanarak sıfırıncı-derece deformasyon denklemini
oluşturmuştur. ∈ [ 0,
1]
q homotopi-parametresi, h yakınsaklık-kontrol parametresi, L
H x,
t
r
r
yardımcı bir fonksiyon, u 0 ( x,
t)
, u ( x,
t)
r
’nin
r
φ x , t;
q çözüm serisi için sıfırıncı-derece
yardımcı bir lineer operatör, ( )
başlangıç yaklaşımı olmak üzere ( )
deformasyon denklemi
r
− q L φ x,
t;
q − u
r
x,
t
r r
= qhH
x,
t N φ x,
t;
q
(2.2.2)
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]
1 0
ile verilir. Homotopi analiz metodunda h ve L ’nin seçiminde bir kısıtlama yoktur.
r r r r
φ ( x , t;
0)
= u0
( x,
t)
ve φ ( x , t;
1)
= u(
x,
t)
, (2.2.3)
r
eşitlikleri sağlanır. q , 0’dan1’e değiştikçe, φ ( x , t;
q)
çözümü,
r
u 0 ( x,
t)
başlangıç
u x,
t
r
r
φ x , t;
q , q ’ya göre Taylor
yaklaşımından denklemin çözümü olan ( ) ’ye değişir. ( )
serisine açılarak
m r
r 1 ∂ φ
( )
( x,
t;
q)
u m x,
t =
= D
m
m!
∂q
olmak üzere;
r
r
q=0
r
m
( φ)
(2.2.4)
( ) ( ) ∑ ( )
+∞
m
φ x,
t;
q = u0
x,
t + um
x,
t q , (2.2.5)
m=
1
bulunur.
Eğer (2.2.5) kuvvet serisi q = 1’de
yakınsak olacak biçimde uygun yardımcı bir lineer
operatör ve yardımcı bir fonksiyon seçilirek
r r r r
φ (2.2.6)
( x,
t;
1)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
= u(
x,
t)
bulunur.
0
∑ +∞
m=
1
m