i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

Kanıt: L , q ’ dan bağımsız olduğundan
L ∑
k
+∞
=
= 0
[ ( ) ] k
L u
φ .
k q
79
sağlanır. Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının m .mertebeden homotopi-türevi alınıp
2.1.1.2. Teoremin (a) şıkkı kullanılarak D ( L ) = L(
u )
m
φ elde edilir. Ayrıca yine
2.1.1.2. Teoremin (a) şıkkına göre L [ D ( φ ) ] = L(
u ) ’dir. Buradan D ( L ) = L[
D ( φ)
]
sağlanır.
∑
k
+∞
=
= 0
m
m
m
m
φ m
k
2.1.1.4.Teorem φ u homotopi serisi için m ≥ 1 tamsayı olmak üzere aşağıdaki
formüller sağlanır;
0
φ u 0 ( e ) e
D =
,
k q
m−1
φ ⎛ k ⎞ φ
( e ) = ⎜ − D ( e ) D ( φ)
∑ 1 ⎟ .
⎝ ⎠
Dm k m−k
k=
0 m
φ
D e =
Kanıt: (2.1.10) tanımına göre ( ) 0
0
e
u
sağlanır.
φ
∂e φ ∂φ
= e ’dur. Çarpımın türevi için Leibnitz kuralına göre
∂q
∂q
1 ∂ e
m!
∂
1
∂
⎛
m φ m−1
m−1
φ
= ⎜e
=
m
m−1
∑
q m!
∂q
∂q
m k=
0
( − k)
⎝
∂φ
⎞
⎟
⎠
1
k!
k φ
m−k
m ⎡ 1 ∂ e ⎤⎡
1 ∂ φ ⎤
⎢ ⎥⎢
m ⎥ .
k
m ⎣k!
∂q
⎦⎣(
m − k)
! ∂q
⎦
m−1
= ∑ −k
k=
0
Yukarıdaki eşitlikte (2.1.10) tanımı kullanılarak
m−1
φ ⎛ k ⎞ φ
( e ) = ⎜ − D ( e ) D ( φ)
∑ 1 ⎟ elde edilir.
⎝ ⎠
Dm k m−k
k=
0 m
2.1.1.5. Teorem
0
∑
k
+∞
=
= 0
k
k q
1
∂
m−k
k m−k
( m −1
− k)
! ∂q
∂q
φ u homotopi serisi için m ≥ 1 tamsayı olmak üzere
( φ ) sin(
u ), D ( φ ) = cos(
u ),
sin 0
D =
0
cos 0
⎛ k ⎞
φ ∑ − ⎟ k
⎝ ⎠
m−1
Dm ⎜
k = 0 m
k
m−
( sin ) = 1 D ( cosφ
) D ( φ),
⎛ k ⎞
φ ∑ − ⎟ k
⎝ ⎠
m−1
Dm ⎜
k = 0 m
k
m−
( cos ) = − 1 D ( sinφ
) D ( φ),
bağıntıları sağlanır.
k
e
φ
∂
φ