i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

83
Kanıt: 2.1.1.6.Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
qhH
x,
t N φ
(2.1.18)
{ ( ) [ ] } ( ( ) [ ] )
Dm 1 0 m
elde edilir. Yardımcı teorem 2.1’e göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χm
m−
(2.1.19)
0
1
bulunur.2.1.1.1. Teorem ve 2.1.1.2. Teoreme göre
r
qh
H x,
t N φ
r
= hH
x,
t D N φ
(2.2.20)
( ( ) [ ] ) ( ) ( [ ] )
Dm m
bulunur. (2.1.19) ve (2.1.20)’yi (2.1.18)’de yerine koyarak m.derece deformasyon
denklemine ulaşılır:
r
r r
L[ u ( x,
t)
− χ mu
m−
( x,
t)
] = hH
( x,
t)
Dm−
( N[
φ]
) .
m 1
1
2.1.2.2.Teorem ∈[
0,
1]
r
φ u ,
∑
m
+∞
=
= 0
m
( ) m
x,
t q
q bir homotopi-parametresi, α k bir sabit olmak üzere;
∑
k
+∞
=
= 1
ψ α homotopi serilerini, L bir yardımcı lineer operatörü,
k
k q
r
N bir nonlineer operatörü, u ( x,
t)
bir yardımcı fonksiyonu göstersin.
k
( 1 q)
L[
φ − u ] = H ( x,
t)
⎜ α q N[
φ]
− ∑
k
+∞
0
=1
r
⎛
⎝
0
k
⎞
⎟
⎠
bir başlangıç çözümünü, H ( x,
t)
r
, q ’dan bağımsız
(2.1.21)
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
k D operatörü (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
tanımlanmak üzere;
r
r
L m m m−1
m
∑
k = 1
k m−k
[ u ( x,
t)
− χ u ( x,
t)
] = H ( x,
t)
α D ( N[
φ]
)
olur.
r
(2.1.22)
Kanıt: 2.1.1.6. Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
H x,
t ψ N φ
(2.1.23)
{ ( ) [ ] } ( ( ) [ ] )
Dm 1 0 m
bulunur. 2.1.1.1.Yardımcı teoremine göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.24)
0
sağlanır. 2.1.1.1.Teorem ve 2.1.1.2. Teorem kullanılarak
r
r
m
m
Dm −k
k=
0
k=
0
1
( H ( x,
t)
ψ N[
φ]
) = H ( x,
t)
∑ Dk
( ψ ) Dm−k
( N[
φ]
) = H ( x,
t)
∑α
k Dm
( N[
φ]
)
α 0 olduğundan,
0 =
r
,