i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

1.2.2. Isı-tipi modeller
20
Yerkabuğunda, dipteki doygun-akışkan gözenekli ortamda akışkan geçişini
gösteren termo-gözenekli-elastik denklemler ve termo-gözenekli-elastisite teorisi, her
zaman ısı-tipi denklemlerle ifade edilebilir. Homotopi pertürbasyon metodunu
kullanarak çözümü göstermek için aşağıdaki örnekler göz önüne alınmıştır.
1.2.2.1.Örnek
Sınır koşulları:
( 0 , t)
= 0,
t
u u ( 1,
t)
= e ,
(1.2.9)
Başlangıç koşulu:
2 ( x,
0)
x .
u = (1.2.10)
olan
1 2
u xx
t = x u , 0 < x < 1,
t > 0,
(1.2.11)
2
bir-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi homotopi pertürbasyon metodu ile
aşağıdaki gibi çözülür.
He’nin homotopi pertürbasyon metoduna göre, aşağıdaki homotopi oluşturulur:
2
∂v
∂u0
⎛ 1 2 ∂ v ∂u0
⎞
H ( v,
p)
= − − p ⎜ x − = 0
2
2
⎟
(1.2.12)
∂t
∂t
⎝ ∂x
∂t
⎠
Çözüm serisi
2 3
v = v + pv + p v + p v + .....
(1.2.13)
0
1
2
3
biçimindedir. (1.2.10) başlangıç koşulu göz önüne alınarak ( ) 2
u 0 x,
t = x seçilip, u 0 ve
(1.2.13) denklemi, (1.2.12) denkleminde yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin
katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
2
1 ∂v1
1 2 ∂ v0
∂u0
p : = x − ,
2
∂t
2 ∂x
∂t
0
2 ( x,
0)
x
v = ,
1
( x,
0)
= 0
v ,