i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

63
Metodun etkinliğini göstermek için bir ve iki boyutlu durumlarda, analitik çözümlere
sahip farklı örnekler seçilmiştir.
1.3.1.Örnek Fokker-Planck denklemi (1.3.2) göz önüne alınsın :
( x 0)
x
u , = , x ∈ IR , A ( x)
= −1,
B ( x)
= 1.
(1.3.10)
Homotopi pertürbasyon metodunu kullanarak aşağıdaki homotopi oluşturulur:
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂v
∂v
∂ v ⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜ − − = 0 2 ⎟
(1.3.11)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
(1.2.7) denklemi, (1.3.11) denkleminde yerine konup p ’nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:
0
p :
∂v0
∂u0
− = 0,
∂t
∂t
v 0 ( x,
0)
= x ,
1
p :
2
∂v1
∂u0
∂v0
∂ v0
+ − − = 0,
2
∂t
∂t
∂x
∂x
v 1 ( x,
0)
= 0 ,
2
p :
2
∂v2
∂v1
∂ v1
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 2 ( x,
0)
= 0 ,
3
p :
2
∂v3
∂v2
∂ v2
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 3 ( x,
0)
= 0 ,
4
p :
.
.
2
∂v4
∂v3
∂ v3
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 4 ( x,
0)
= 0 ,
j
p :
.
2
∂v j ∂v
j−1
∂ v j−1
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v j ( x,
0)
= 0 , ( j = 2,
3,.....
)
. (1.3.12)
denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan u ( x,
t)
= x
yaklaşımı seçilerek, (1.3.12) denklem sisteminin çözümleri;
( x,
t)
x
v =
0
( x,
t)
t
v =
1
,
( x,
t)
= 0
( x,
t)
= 0
v 2 ,
v ,
3
,
0 başlangıç