i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

73
deforme olur). (2.1.1) tipindeki denklemlerin ailesine sıfırıncı-derece deformasyon
denklemi denir. Bu da homotopi pertürbasyon metodundaki homotopiye denktir.
Homotopi pertürbasyon metodu, bu noktadan itibaren farklılıklar gösterir. Burada,
φ ( q)
, homotopi parametresi q ’nun bir fonksiyonu olduğundan, pertürbasyon serisi
yerine Taylor serisine açılarak ifade edilir. Böylece ( ) 0
φ 0 = x olmak üzere
k
( q) x ∑ xkq
k
+∞
φ = 0 +
(2.1.2)
= 1
bulunur. (2.1.2) serisinde x k ,
( q)
k
1 ∂ φ
x k =
= D
k
k!
∂q
biçimindedir.
q=0
k
( φ)
(2.1.2) serisine homotopi-serisi, ( φ)
k
(2.1.3)
D ’ ye ise k .mertebeden homotopi-türevi denir.
Homotopi-serisi (2.1.2), q = 1’de
yakınsak ise φ ( 1)
= x eşitliği kullanılarak homotopi-
serisi çözümü
∑ +∞
k = 1
x = x + x
(2.1.4)
0
elde edilir.
k
Taylor serisinde katsayılar tek biçimde verildiğinden, (2.1.2) homotopi serisinin k x
katsayıları da tektir. Bu yüzden x k ’lardan oluşan denklem de tektir ve sıfırıncı-derece
deformasyon denklemi (2.1.1)’den doğrudan elde edilebilir. Sıfırıncı-derece
deformasyon denkleminin her iki tarafının, (2.1.3) ile tanımlanan 1.mertebeden
homotopi-türevi alınarak
( − q) [ f [ φ ( q)
] − f ( x ) ] + qf [ φ(
q)
] = f [ φ(
q)
] − ( 1−
q)
f ( x ) = 0
1 0
0
( q)
dφ
dq
[ ( ) ] ( ) 0 + f q φ
′ x
f
0 =
1.derece deformasyon denklemi
1
( x ) + f ( ) = 0
x f ′ x
0
elde edilir.
0