i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

2.1.2.5. Teorem ∈ [ 0,
1]
86
q bir homotopi-parametresi olmak üzere; ( ) m r
φ = u x,
t q
r
homotopi-serisi, L bir yardımcı lineer operatör, N bir nonlineer operatör, u 0 ( x,
t)
bir
x, t ≠
r
B , x,
t,
q
r
φ , , x, t
r
φ
başlangıç çözümü olsunlar. γ ( ) 0 bir fonksiyon olmak üzere; [ ]
ve q ’nun,
r
q = 0 iken B[
φ , x,
t,
q]
= 0 ,
r r
q = 1 iken B [ φ, x,
t,
q]
= γ ( x,
t)
N[
φ]
denklemlerini sağlayan bir fonksiyonu olsun.
r
− q L φ − u = B φ,
x,
t,
q
(2.1.36)
( ) [ ] [ ]
1 0
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
k D operatörü (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
tanımlanmak üzere;
u
r
x t − χ u −
r
x,
t = D
r
B φ,
x,
t,
q
(2.1.37)
[ ( ) ( ) ] ( [ ] )
L m , m m 1
m
ile verilir.
Kanıt: 2.1.1.6.Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
B φ,
x,
t,
q . (2.1.38)
{ ( ) [ ] } ( [ ] )
Dm 1 0 m
elde edilir. 2.1.1.1.Yardımcı teoreme göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.39)
0
sağlanır. (2.1.38) ve (2.1.39)’dan kanıt biter. ∆
1
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.16), (2.1.21), (2.1.26) ve (2.1.31),
sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.36)’nın özel halleridirler. Çoğu zaman
homotopi seri çözümünü elde etmek için (2.1.16) sıfırıncı-derece deformasyon
denklemi kullanılır. Eğer yardımcı lineer operatör L , yardımcı fonksiyon H ( x,
t)
r
, ve
yakınsaklık parametresi h uygun olarak seçilirse istenen çözüme ulaşılır. Bir nonlineer
[ u]
= 0
N denkleminin yüksek derece deformasyon denklemlerini elde etmek için
( N(
φ)
)
D k terimleri hesaplanmalıdır. (2.1.16) sıfırıncı-derece deformasyon denklemi,
• L
L = r
hH
( x,
t)
olmak üzere;
•
( − q ) L[
φ − u ] = qN[
φ]
1 (2.1.40)
0
∑
m
+∞
= 0
m