i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

x
n+
1
veya
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
12
′
( ξ n )
′ ( ξ )
′′ ( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
2
3
1
2
2
6
⎟ f f ′
⎛ f ⎞ ⎪
⎧ ⎛ f ⎞ f ′ ⎪
⎫⎛
f ⎞
= ξ − −
⎜
⎟ − ⎨ ⎜
⎟ − ⎬ ⎜
n
(1.1.21.a)
f n f n ⎝ f n ⎠ ⎪⎩ ⎝ f n ⎠ f n ⎪⎭ ⎝ f n ⎠
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
′
( xn
)
′ ( x )
′′ ( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
2
2
3
1
1
2
2
6
⎟ f f ′
⎛ f ⎞ ⎪
⎧ ⎛ f ⎞ f ′ ⎪
⎫⎛
f ⎞
x
⎜
⎟ − ⎨ ⎜
⎟ − ⎬ ⎜
n+
= xn
− −
(1.1.21.b)
f n f n ⎝ f n ⎠ ⎪⎩ ⎝ f n ⎠ f n ⎪⎭ ⎝ f n ⎠
ile verilir [47,48].
2
1.1.1.3. Örnek ( x)
= x + x − 2 = 0
f ikinci dereceden polinomunun çözümleri
Homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur;
x 0 başlangıç çözümü ile başlanır ve ( ) ( ) ( )( ) 0 1
f ξ − f x = ξ − x ξ + x + =
0 =
( 1)
0 =
( 2)
denklemi çözülürse; ξ 0 ve ξ = −1
çözümleri bulunur. Bu çözümler ikinci
0
dereceden yaklaşık çözüm için (1.1.19.a) iterasyon formülünde yerine konularak
x
x
( 1)
( 1)
1
= ξ
0
( 2)
( 2)
1
( 1)
= ξ
0
f
−
f ′
f
−
f ′
( 1)
( ξ0
)
( 1)
( ξ )
0
( 2)
( ξ 0 )
( 2)
( ξ )
0
f ′
−
2 f ′
f ′
−
2 f ′
( 1)
( ξ 0 )
( 1)
( ξ )
0
( 2)
( ξ 0 )
( 2)
( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f ′
⎛ f
⎜
⎝ f ′
( 1)
( ξ 0 )
( 1)
( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
( 2)
( ξ0
)
( 2)
2
( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
f
= −
f
2
f
= −
f
0
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
( −1)
′ ( −1)
0
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
⎛ f
⎜
⎝ f
( −1)
′ ( −1)
0
( 0)
′ ( 0)
⎞
⎟
⎠
⎛ f
⎜
⎝ f
2
0
0
= −2
( −1)
′ ( −1)
2
x = −2
, x = 1 çözümleri elde edilir. Bulunan çözümler denklemin tam çözümleridir.
1
( )
1
1.1.1.4. Örnek f ( x)
= x − ε cosh x denkleminin x = 0 civarında bir kökünü bulmak
için x 0 başlangıç çözümü ile başlanarak (1.1.19.b) denkleminden sadece bir
0 =
iterasyonla
x
1
= x
0
−
f
f
( x0
)
′ ( x )
0
f ′
−
2 f
( x0
)
′ ( x )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( x )
0
⎞
⎟
⎠
2
f
= −
f
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
( 0)
′ ( 0)
⎛ f
⎜
⎝ f
⎞
⎟
⎠
2
2
( 0)
⎞ ε
⎟ = ε +
′ ( 0)
2
çözümü bulunur. ε = 0.
20 olduğunda, denklemin tam çözümü, x 0.
5050 iken ikinci
dereceden yaklaşık çözümü x 0.
49129 ’dur.
1 =
Yukarıda, cebirsel denklemleri çözmek için homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak
oluşturulan yeni iteratif metodun yakınsaklığı analiz edilerek metodun en az üçüncü
dereceden yakınsak olduğu kanıtlanmıştır [48]:
⎠
1 =
2
0
= 1