i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

Çözümü
61
1.3. Fokker-Planck Denkleminin Homotopi Pertürbasyon Metodu ile
Fokker-Planck denklemi, doğa bilimlerinin katı-hal fiziği, kuantum optiği,
kimyasal fizik, teorik biyoloji ve akım teorisini içeren birçok farklı alanında kullanılır.
Fokker-Planck denklemi [56], ilk olarak parçacıkların Browniyen hareketini
tanımlamak için kullanılmıştır. Eğer küçük bir parçacığın kütlesi m , bir akışkana
batırılırsa, v ; küçük bir parçacığın parçacıkların Browniyen hareketi için hızı, t ;
zaman, γ ; fraksiyon sabiti, K ; Boltzmann sabiti ve T ; akışkanın sıcaklığı olmak
üzere; dağılım fonksiyonu için hareket denklemi,
( vW )
2
∂W
∂ KT ∂ W
= γ + γ , (1.3.1)
2
∂t
∂v
m ∂v
ile verilir.(1.3.1), Fokker-Planck denklemlerinin en basit tiplerinden biridir.
x değişkeni için genel Fokker-Planck denklemi aşağıdaki biçimdedir :
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
( x t)
2
∂
∂x
( x)
+ B(
x)
u,
2
u , bilinmeyen bir fonksiyon olmak üzere;
başlangıç koşulu:
( x,
0)
f ( x)
, x IR,
⎤
⎥
⎦
(1.3.2)
u = ∈
(1.3.3)
ile verilir.
(1.3.2)’deki ( x)
> 0
B ’e difüzyon katsayısı ve A ( x)
’e sürüklenme katsayısı denir.
Sürüklenme ve difüzyon katsayıları zamana bağlı da olabilirler. Yani;
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
2
∂
∂x
( x t)
+ B(
x,
t)
u.
, 2
⎤
⎥
⎦
(1.3.4)
(1.3.1) denklemi, Fokker-Planck denkleminin, sürüklenme katsayısının lineer, difüzyon
katsayısının sabit olduğu bir özel halidir. (1.3.2) denklemi, ( x t)
u , dağılım fonksiyonu
için bir hareket denklemidir. Matematiksel olarak, bu denklem parabolik tipte ikinci
mertebeden lineer bir denklemdir. Literatürde, (1.3.2) denklemine forward Kolmogorov