i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

18
1.2.1. Denklemin çözümü için homotopi pertürbasyon metodu
A genel bir diferansiyel operatör, B bir sınır operatörü, f(r) bilinen bir analitik
fonksiyon, Γ , Ω bölgesinin sınırı olmak üzere, aşağıdaki nonlineer diferansiyel
denklem göz önüne alınsın;
A( u)
− f ( r)=0, r∈ Ω
(1.2.1)
Sınır koşulları;
B ( u,
∂u
) = 0 , r∈ Γ
(1.2.2)
∂n
A operatörü, L lineer ve N nonlineer operatör olmak üzere; L ve N gibi iki
parçaya ayrılabilir . (1.2.1) denklemi aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir ;
L ( u)
+ N ( u)
− f ( r ) = 0 . . (1.2.3)
R
v : Ω × 0,
1 → olmak üzere; p ∈[
0,
1]
’ nin bir
Homotopi tekniğini kullanarak, [ ]
gömme parametresi, u 0 ’ın (1.2.1) denkleminin sınır koşullarını sağlayan başlangıç
rrrr
yaklaşımı olduğu, (1.2.4.a) veya (1.2.4.b) denklemlerini sağlayan bir H ( v(
, p),
p)
= 0
homotopisi oluşturulur.
rrrr
rrrr
H ( v ( , p),
p)
= ( 1−
p)
L(
v)
− L(
u0
) + p A(
v)
− f ( ) = 0,
p ∈ 0,1 , (1.2.4.a)
[ ] [ ] [ ]
veya
rrrr
rrrr
H v(
, p),
p)
= L(
v)
− L(
u ) + pL(
u ) + p
(1.2.4.b)
( 0
0
[ N(
v)
− f ( ) ] = 0
(1.2.4.a) veya (1.2.4.b) denklemlerinden
( , 0 , 0)
( ) ( 0 ) = − = u L v L
v
rrrr
H (1.2.5)
( ) 0
ve
rrrr
rrrr
H ( v(
, 1),
1)
= A(
v)
− f ( =
(1.2.6)
)
denklemleri elde edilir.
rrrr
p parametresinin, p = 0 ’dan p = 1’e
değişimi, v(
p)
çözüm serisinin,
rrrr
u ( ) başlangıç yaklaşımından, denklemin çözümü olan u ( )rrrr
’ye değişimini verir.
0