i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x,1, z, t 1 x e 1 z e 1 ,
−
2 2 t
( ) = ( + )( − )
u x, y,0, t x y e 1 ,
2 2 t t
( ) ( )( ) ( )
32
u x, y,1, t x y e 1 e 1 ,
−
= + − + − (1.2.51)
Başlangıç koşulu:
2 2 2
( , , ,0) 0, ( , , ,0)
u x y z = u x y z = x + y − z
(1.2.52)
olan
t
2 2 2 1 2 2 2
utt = ( x + y + z ) + ( x uxx + y uyy + z uzz ) , 0 < x, y, z < 1, t > 0,
(1.2.53)
2
üç-boyutlu başlangıç ve sınır değer probleminde
2 2
∂ v ∂ u ⎡
⎤
0
H ( v,
p)
= − − p
2 2 ⎢
2
2
2 2 ⎥
∂t
∂t
⎣
2 ⎜
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ∂t
⎦
2
2
2 2
2 2 2 1 ⎛ 2 ∂ v 2 ∂ v 2 ∂ v ⎞ ∂ u0
( x + y + z ) + ⎜ x + y + z ⎟ − = 0
homotopisi oluşturularak (1.2.52) başlangıç koşulu göz önüne alınıp
0
2 2 2
( , , , ) ( )
(1.2.54)
u x y z t = x + y − z t seçilerek, u 0 ve (1.2.13) denklemi (1.2.54) denkleminde
yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel
denklem sistemi elde edilir.
2 2
0 ∂ v0
∂ u0
p : − = 0,
2 2
∂t
∂t
∂
⎛
⎜
⎝
1 ⎛
2 ⎜
⎝
∂
( x,
y,
z,
0)
= 0
2 2 2
v 0
, v0 ( x,
y,
z,
0)
= x + y − z
t
1
p : ( ) ⎟ 2
2
2
2
2
1 ⎜ 2 2 2
2 0 2 0 2 0
0
= x + y + z + ⎜ x + y + z ⎟ −
2
2
2
2
2
2
p :
∂t
∂
v
v
2
2
2
∂t
1 ⎛
=
⎜ x
2 ⎝
2
∂
v
2
1
2
∂x
+ y
2
∂
v
2
1
2
∂y
v
∂x
+ z
2
2
∂ v ⎞ 1
⎟
2
∂z
⎠
∂
v
∂y
∂
v
∂z
1
⎞
⎟
⎠
∂
u
∂t
⎞
⎠
( x,
y,
z,
0)
= 0
v , ( x,
y,
z,
0)
= 0
2
( x,
y,
z,
0)
= 0
v1 t
v , ( x,
y,
z,
0)
= 0
v2 t