i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan ( x,
t)
sinh( x)
65
yaklaşımı seçilerek, (1.3.16) denklem sisteminin çözümleri;
0
( x,
t)
sinh( x)
v = ,
1
( x,
t)
t sinh( x)
v = ,
2
t
v 2 ( x,
t)
= sinh( x)
,
2!
3
t
v 3 ( x,
t)
= sinh( x)
,
3!
4
t
v 4 ( x,
t)
= sinh( x)
,
4!
.
.
.
n
t
vn
( x,
t)
= sinh( x)
n!
.
.
u = başlangıç
0
.
.
(1.3.17)
bulunur. Bu durumda p → 1 iken (1.3.14) denkleminin çözümü,
u
2 3
n
⎛ t t t ⎞
= ⎜ 2!
3!
n!
⎟
elde edilir. Bu da denklemin
⎝
⎠
t
( x,
t)
sinh( x)
⎜1+
t + + + .... + + ... ⎟ = e sinh(
x)
tam çözümüdür.
1.3.3.Örnek Backward Kolmogorov denklemi (1.3.5) göz önüne alınsın.
( x,
0)
= x + 1
2 t
u , x ∈ IR , A ( x,
t)
= −(
x + 1),
B ( x,
t)
= x e .
(1.3.18)
Homotopi aşağıdaki gibi oluşturulsun:
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜
⎜(
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
) v = 0
2 ⎟
(1.3.19)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
(1.2.7) denklemi, (1.3.19) denkleminde yerine konup p ‘nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek: