i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

Đlk dört denklemden ξ 1 , ξ 2 , ξ3
çözülerek
( x0
)
′ ( ξ )
0
11
f
ξ1
= − , (1.1.12)
f
f ′′
ξ 2 = −
2!
ξ
3
= −
f ′′
bulunur.
2 ( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
ξ
2
f ′′
= −
2!
f
−
f ′
3!
( ξ0
)
′ ( ξ )
0
3 ( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
1 ⎛
= −
2 ⎜
⎝
2
⎟ ⎞
, (1.1.13)
⎠
f
f
′′ ( ξ0
)
′ ( ξ )
p = 1 iken birinci dereceden yaklaşık çözüm
( ξ 0 )
′ ( ξ )
0
0
2
⎞ ⎛ f
⎟
⎜
⎠ ⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
3
f ′ ′′
+
6 f
( ξ0
)
′ ( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
⎟ ⎞
⎠
3
(1.1.14)
f
x = ξ0
+ ξ1
= ξ 0 − , (1.1.15)
f
biçiminde elde edilir. Bu çözüm
x
n+1
= ξ −
n
f
f
( ξ n )
′ ( ξ )
n
. (1.1.16)
iterasyon formülü kullanılarak da yazılabilir.
(1.1.8) denkleminin bir çözümü olan ξ 0 = x0
da (1.1.16) denkleminde yerine konularak
( xn
)
′ ( x )
f
xn+1
= xn
−
(1.1.17)
f
n
Newton iterasyon formülü elde edilir. Benzer olarak ikinci dereceden yaklaşık çözüm
x = ξ + ξ + ξ , (1.1.18)
0
1
2
biçimindedir ve iterasyon formülüyle
x
n+
1
veya
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
2
⎟ f f ′
⎛ f ⎞
= ξ − −
⎜
n
, (1.1.19.a)
f n f n ⎝ f n ⎠
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
2
1
2
⎟ f f ′
⎛ f ⎞
x = − −
⎜
n+
xn
. (1.1.19.b)
f n f n ⎝ f n ⎠
biçiminde gösterilir.Üçüncü dereceden yaklaşık çözüm ise
x = ξ + ξ + ξ + ξ
(1.1.20)
0
1
2
olduğundan iterasyon formülüyle
3