i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

67
Buradan, p → 1 iken (1.3.18) denkleminin çözümü, aynı zamanda denklemin tam
çözümü olan ( ) ( ) ( ) t
2 3
n
⎛ t t t ⎞
u x,
t = x + 1 ⎜
⎜1+
t + + + .... + + .... = x + 1 e
2!
3!
n!
⎟ ’ dir.
⎝
⎠
1.3.4.Örnek Genelleştirilmiş lineer (1.3.6) denklemi göz önüne alınsın.
( x,0) x1
u = x = ( x , x ) ∈ R
( x1
x2
) 1
( x1,
x2
) 5x2
A 1 , = x ,
A =
2
1,
1
2 ( x , x ) x ,
B =
B
1 , 2
1
2
1
( x x ) = 1,
1,
2
2 ( x x )
2 , 2 1,
2 x2
1
2
2
B = . (1.3.22)
Homotopi pertürbasyon metodu uygulanarak aşağıdaki homotopi oluşturulsun.
H
⎛ ∂v
∂u
⎞
⎛
2
2
= ⎜ ⎟
⎜ ∑ i 1 2 ∑
⎝ ∂t
∂t
⎠ ∂t
i=
1 ∂xi
i,
j=
1
0 ( v,
p)
( 1−
p)
− + p⎜(
+ A ( x , x ) − B ( x , x ) ) v⎟
= 0.
⎝
∂
∂
2
∂
∂x
∂x
i
j
i,
j
1
2
⎞
⎟
⎠
(1.3.23)
(1.2.7) denklemi, (1.3.23) denkleminde yerine konup p ’ nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
1
p
2
p
3
p
4
p
.
.
n
p
:
:
:
:
:
∂v1
∂u0
+
∂t
∂t
∂v
∂t
2
∂v
∂t
3
∂v
∂t
4
∂v
∂t
n
+
+
+
+
2
∑
+
1
2
∑
∂v
A
∂v0
Ai
∂x
2 2
( x , x ) ∂ v0
Bi,
j ( x1,
x2
)
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
i
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v1Bi
, j ( x1,
x2
)
∂x
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v2
Ai
∂x
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v2
Bi,
j ( x1,
x2
)
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v
A
3
i
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v3Bi
, j ( x1,
x2
)
∂x
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v
n−1
Ai
∂x
i= 1
i
−
∑
=
=
=
0,
2 2
( x , x ) ∂ vn−1B
i,
j ( x1,
x2
)
1
2
−
∑
∂x
∂x
i, j=
1
i j
0,
0,
=
0,
=
0,
0
( x, 0)
x1
v = ,
1
( x,
0)
= 0
v ,
2
( x,
0)
= 0
v ,
3
( x,
0)
= 0
v ,
4
( x,
0)
= 0
v ,
(n=2,3,….) ( x , 0)
= 0
v ,
.
.
. (1.3.24)
n