i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

More documents

Recommendations

Info

3 2 2 3 8c2 − 2c3 − 4c2 + [ 2c2 ( 3c3 + 13c2 + 6c3 ) − ( 12c4 + 16c2c3 + 2c2 ) ] en + ... 2 2 3 2 2 ( 1+ 2c e + 3c e + ... ) ( 1+ ( 2c + 4c ) e + ( 3c + 8c + 6c + 4c ) e + ... ) 15 3 = e n . (1.1.28) 2 2 n 3 Yukarıdaki terimlerin hepsi birleştirilerek n 2 ( 2) ( r) ′ ( r) 2 3 n 3 ( 3) ( r) ′ ( r) 2 3 2 ( 2) ( r) ′ ( ) 1 1 1 lim 4 2 4 2 ⎟ e ⎛ f ⎞ f ⎛ f ⎞ = c − c − c = ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎠ n+ 1 3 2 3 2 3 2 n→∞ ⎜ 2! ⎟ 3! ⎜ e ⎝ f ⎠ f ⎝ 2! f r n 2 n , (1.1.29) elde edilen (1.1.29) denklemi, 1.1.1.2.Algoritmanın yakınsaklık derecesi en az üç olan bir metot olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, bu metot klasik Newton – Raphson iteratif kök bulma metodunu modifikasyonları ile birlikte sistematik olarak vermektedir. Homotopi pertürbasyon metodunun kullanıldığı en geniş alan diferansiyel denklemlerdir. Metot, çözümü zor veya uzun olan bir nonlineer veya lineer problemi çözümü kolay olan lineer denklem sistemine indirger. Bu çalışmada homotopi pertürbasyon metodu diferansiyel denklemlere aşağıdaki gibi uygulanmıştır. Homotopi pertürbasyon metodu, çeşitli lineer ve lineer olmayan denklemlerin çözümü için alışılmamış ve etkin bir metottur. Genel nonlineer bir denklem üzerinde metodun diferansiyel denklemlere uygulanışı gösterilsin. A genel bir diferansiyel operatör, B bir sınır operatörü, f(r) bilinen analitik bir fonksiyon, Γ , Ω bölgesinin sınırı olmak üzere; A( u) − f ( r)=0, r∈ Ω (1.1.30) nonlineer denkleminin sınır koşulları; B ( u, ∂u ) = 0 , r∈ Γ (1.1.31) ∂n olsun. A operatörü, L bir lineer ve N bir nonlineer operatör olmak üzere; L ve N gibi iki parçaya ayrılarak (1.1.30) denklemi aşağıdaki biçimde yeniden yazılır; L ( u) + N ( u) − f ( r ) = 0 (1.1.32) I R I v : Ω× 0, 1 → R bir dönüşüm, p ∈[ 0, 1] bir gömme parametresi, Homotopi tekniğiyle, [ ] u 0 (1.1.30) denkleminin sınır koşullarını sağlayan başlangıç yaklaşımı olmak üzere; rrrr (1.1.33.a) veya (1.1.33.b) denklemlerini sağlayan bir H ( v( , p), p) = 0 homotopisi aşağıdaki gibi oluşturulur. rrrr rrrr H ( v ( , p), p) = ( 1− p) L( v) − L( u0 ) + p A( v) − f ( ) = 0, p ∈ 0,1 , (1.1.33.a) veya [ ] [ ] [ ]
16 rrrr rrrr H v( , p), p) = L( v) − L( u ) + pL( u ) + p (1.1.33.b) ( 0 0 [ N( v) − f ( ) ] = 0 Homotopilerinden ( , 0 , 0) ( ) ( 0 ) = − = u L v L v rrrr H (1.1.34) ( ) 0 ve rrrr rrrr H ( v( , 1), 1) = A( v) − f ( = (1.1.35) denklemleri elde edilir. ) p = 0 olduğunda (1.1.32) denklemi, lineer denklem olurken, p = 1 iken lineer olmayan rrrr orjinal denkleme dönüşür. p parametresinin p = 0 ’dan p = 1’e değişimi, v( p) rrrr çözüm serisinin, u ( ) başlangıç yaklaşımından, denklemin çözümü olan u ( )rrrr ’ye 0 değişimini verir. Bu bir deformasyondur.Bu durumda ( ) ( 0 ) 0 = − u L v L ve rrrr A ( v) − f ( = denklemlerine de “homotopiktirler “denir. Burada görüldüğü gibi, ) homotopi pertürbasyon metodunun amacı, çözümü zor bir problemin, çözümü basit olan bir probleme sürekli bir deformasyonunu elde etmektir. Eğer p ( 0 ≤ p ≤ 1) gömme parametresi “küçük parametre” olarak düşünülürse, pertürbasyon tekniğiyle, (1.1.30) denkleminin çözümü p ’nin kuvvet serisi olarak yazılabilir; 2 v = v + pv + p v + ... (1.1.36) 0 1 2 p → 1 iken denklemin yaklaşık çözümü u = lim p →1 v = v0 + v1 + v2 + ... (1.1.37) olarak bulunur. Buradan da görüldüğü gibi, (1.1.30) denkleminin çözümü olan u ( )rrrr ve rrrr başlangıç yaklaşımı u ( ) homotopiktirler. Bu yüzden uygun bir başlangıç yaklaşımı 0 ve uygun homotopi seçmek, problemin çözümü için önemlidir. Homotopinin uygun seçilmemesi durumunda çözümün yakınsaklığının garanti edilememesi, başlangıç yaklaşımının uygun olarak seçilmemesi durumunda istenilen çözüme ulaşılmaması, çözümü bulmak için sonsuz iterasyon gerekmesi, alınan çoğu örnekte yakınsaklığın sağlanmasına rağmen genel bir yakınsaklık kriteri verilmemiş olması bu metodun dezavantajlarından bazılarıdır. Metodun en büyük avantajı ise metodun klasik pertürbasyon tekniklerinin kısıtlamalarını ortadan kaldırıp, birçok alanda nonlineer tipte probleme uygulanması ve istenilen çözümlerin elde edilmesidir. Metodun yakınsaması homotopi yolunun doğru seçimine bağlıdır.
Page 1 and 2: i ÖZET Bu çalışmanın amacı, h
Page 3 and 4: iii ÖNSÖZ Bu çalışmanın her a
Page 5 and 6: v 2.2. Fokker-Planck Denkleminin Ç
Page 7 and 8: 2 analysis method” adlı kitabın
Page 9 and 10: I. BÖLÜM 4 1. HE’NĐN HOMOTOPĐ
Page 11 and 12: 1.1. Şekil 6 Đlk koşul, H ‘nin
Page 13 and 14: 8 özellikler, pertürbe edilmeyen
Page 15 and 16: ( p) = f ( ) − f ( x ) + pf ( x )
Page 17 and 18: x n+ 1 veya ( ξ n ) ′ ( ξ ) (
Page 19: 14 ( ) ( )[ ] ... 6 5 4 3 2 1 5 6 4
Page 23 and 24: 18 1.2.1. Denklemin çözümü içi
Page 25 and 26: 1.2.2. Isı-tipi modeller 20 Yerkab
Page 27 and 28: 22 p parametresi 1’e yakınsarken
Page 29 and 30: 2 5 x t v 5 ( x, y, t) = , 5! 2 6 y
Page 31 and 32: Sistem çözülerek v 0 4 4 4 ( x y
Page 33 and 34: . 2 2 n ∂ vn 1 2 ∂ vn−1 p : =
Page 35 and 36: 2 2 0 ∂ v0 ∂ u0 p : − = 0, 2
Page 37 and 38: 2 t 2 t ( ) = ( + )( − ) + ( −
Page 39 and 40: 34 (1.2.13) denkleminde, p parametr
Page 41 and 42: 1.2.5. Isı-tipi modellerde yakıns
Page 43 and 44: 2 t t için 1+ 2! t 1+ t − e Her
Page 45 and 46: 40 Elde edilen seri çözümün yak
Page 47 and 48: 42 Her [ ] 2 , 0 ∈ t için 1 1804
Page 49 and 50: 4 4 4 3 x y z t v 2 ( x, y, z, t) =
Page 51 and 52: V3 − u ≤ 3 γ v0 − u bulunur.
Page 53 and 54: 2 3 2 5 3 5 2 x t x t 2 2 t t V2
Page 55 and 56: 50 Elde edilen seri çözümün yak
Page 57 and 58: 52 Her ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈
Page 59 and 60: Diferansiyel denklem sisteminden 0
Page 61 and 62: V 1 3 − u = 1 = = v 1 0 + v 1 1 +
Page 63 and 64: 2 t 2! 3 t 3! 4 t 4! 5 t 5! 2 2 t
Page 65 and 66: Buradan, lim Vn − u = n→∞ n
Page 67 and 68: 62 denklemi denir. Benzer kısmi di
Page 69 and 70: ( x, t) = 0 v 4 . . . , vn x, t = (
Page 71 and 72:
66 0 p : ∂v0 ∂u0 − = 0, ∂t
Page 73 and 74:
denklem sistemi elde edilir. Başla
Page 75 and 76:
70 Görüldüğü gibi, metot etkin
Page 77 and 78:
72 parametre kullanılır. Bu metot
Page 79 and 80:
Bulunan bu denklemin çözümü: (
Page 81 and 82:
76 seçilen bir iterasyon çarpanı
Page 83 and 84:
Kanıt: 78 (a) Taylor teoremine gö
Page 85 and 86:
Kanıt: (2.1.10) tanımına göre;
Page 87 and 88:
82 ⎧0, m ≤ 1 χ m = ⎨ (2.1.15
Page 89 and 90:
84 ( H ( x, t) ψ N[ φ] ) = H ( x,
Page 91 and 92:
2.1.2.5. Teorem ∈ [ 0, 1] 86 q bi
Page 93 and 94:
88 derece deformasyon denklemine g
Page 95 and 96:
90 r L yardımcı lineer operatör
Page 97 and 98:
Kanıt: Eğer seri yakınsak ise s
Page 99 and 100:
94 Liao tarafından kanıtlandığ
Page 101 and 102:
96 (2.2.2) denkleminden, sıfırın
Page 103 and 104:
1.3.2.Örnek için (1.3.3) başlang
Page 105 and 106:
u + 3 ( x, t) = −h( 1+ h) 3 h t 2
Page 107 and 108:
102 olarak bulunur. Buradan (2.2.8)
Page 109 and 110:
1.3.4.Örnek için (1.3.6) denklemi
Page 111 and 112:
106 r ∂u ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Page 113 and 114:
108 (2.2.11) denkleminden, sıfır
Page 115 and 116:
110 2 2 2 2 2 2 h x t 2 u( x, t) =
Page 117 and 118:
112 h değeri 4.dereceden yaklaşı
Page 119 and 120:
114 h değeri 4.dereceden yaklaşı
Page 121 and 122:
116 Tablolar incelendiğinde ve n =
Page 123 and 124:
118 2.2.Şekil h = −0. 5 için 4.
Page 125 and 126:
120 2.5.Şekil h = −0. 07 için 4
Page 127 and 128:
122 2.8.Şekil h = −0. 03 için 4
Page 129 and 130:
124 Örneğin, h ’nin geçerli b
Page 131 and 132:
126 2.14.Şekil h = −0. 09 için
Page 133 and 134:
1.3.5.Örnek için: app xxt 2 3 4 (
Page 135 and 136:
130 geçerli bölgesinden h = −1
Page 137 and 138:
132 yaklaşık çözümlerinin de
Page 139 and 140:
134 h ’nin geçerli bölgesinden
Page 141 and 142:
136 olduğu görülür. Yine her ik
Page 143 and 144:
138 3.5.a. Şekil HAM ile bulunan h
Page 145 and 146:
140 iken homotopi pertürbasyon met
Page 147 and 148:
142 [14] Ghorbani A, Saberi-Nadjafi
Page 149 and 150:
144 [42] Sajid M., Hayat T., 2009,
Page 151:
KĐŞĐSEL BĐLGĐLER Adı Soyadı
show all

i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?