i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

u
( x,
t)
2 3
2 x t
= x + x t +
3!
+
2
x t
5!
5
+
2
x t
7!
7
29
x
+ ..... +
t
2 2n+
1
( 2n
+ 1)
+ ... ..
!
( ) ⎟ 3 5 7
2n+
1
2⎛
t t t t ⎞
= x + x ⎜
⎜t
+ + + + .... + + ......
⎝ 3!
5!
7!
2n
+ 1 ! ⎠
bulunur. Seri çözümün kapalı formu
2
( x,
t)
x + x t
(1.2.41)
u = sinh
(1.2.42)
problemin tam çözümüdür.
1.2.2.5.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
t)
= 0,
u x u x ( 1, y,
t)
= 4cosh
t,
( x,
0,
t)
= 0,
u y u y ( x,
1,
t)
= 4sinh
t,
(1.2.43)
Başlangıç koşulları:
4 ( x,
y,
0)
x ,
4
u = ut ( x,
y,
0)
= y .
(1.2.44)
olan
2 ( x u + y u ) , 0 < x,
y < 1,
> 0,
1 2
u yy
tt = xx
t
(1.2.45)
12
iki boyutlu başlangıç ve sınır değer probleminde aşağıdaki homotopi oluşturularak
2 2
2
2 2
∂ v ∂ u 1 ⎛
0
2 ∂ v 2 ∂ v ∂ u ⎞ 0
H ( v,
p)
= − − p ⎜
⎟ = 0,
2 2
2
2 2
12 ⎜
x + y −
∂ ∂
⎟
(1.2.46)
t t ⎝ ∂x
∂y
∂t
⎠
4 4
(1.2.44) başlangıç koşulları göz önüne alınıp u ( x,
y,
t)
y t + x
0
= seçilerek, 0
(1.2.13) denklemi (1.2.46) denkleminde yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin
katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
u ve