i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

62
denklemi denir. Benzer kısmi diferansiyel denklem olan backward Kolmogorov
denklemi aşağıdaki biçimdedir:
∂u
⎡
= −⎢
A
∂t
⎣
∂
∂x
2
∂ ⎤
⎥
∂x
⎦
( x t)
+ B(
x,
t)
u.
, 2
(1.3.2) denkleminin N değişkene ( x ,..., xN
üzere:
∂u
⎡
= ⎢−
∂t
⎢⎣
N
∑
i=
1
başlangıç koşulu:
N 2
Ai
( x)
Bi,
j ( x) u,
xi
i,
j 1 xi
x j ⎥ ⎥
∂
∂ ⎤
+ ∑
∂
= ∂ ∂ ⎦
N
( x,
0)
= f ( x)
,
x ∈ IR ,
= olmak
1 ) genelleştirilmesi ( x ,... x )
x 1
N
(1.3.5)
(1.3.6)
u (1.3.7)
ile verilir. i A ve i j
B , genelde N değişkene ( N x x 1 ,...
) bağlıdırlar.
Fokker-Planck denkleminin analitik çözümleri bulunabilir. Genelde, özellikle
değişkenlere ayrılamıyorsa veya değişkenlerin sayısı çoksa çözümleri elde etmek
zordur. Çözüm için simulasyon metotları, Fokker-Planck denkleminin Schrödinger
denklemine dönüştürülmesi, nümerik integrasyon metotları gibi farklı metotlar vardır.
Fokker-Planck denkleminin daha genel bir hali vardır. Nonlineer Fokker-Planck
denklemi, plazma fiziği, yüzey fiziği, popülasyon dinamiği, biyofizik, mühendislik,
nonlineer hidrodinamik, polimer fiziği, lazer fiziği, psikoloji, pazarlama gibi birçok
farklı alanda, önemli uygulamalara sahiptir [57]. Tek değişkenli nonlineer Fokker-
Planck denklemi aşağıdaki biçimde yazılır:
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
2
∂
∂x
( x t,
u)
+ B(
x,
t,
u)
u.
, 2
N değişken N x x ,...
⎤
⎥
⎦
1 için x ( x 1,...
xN
)
= olmak üzere;
(1.3.8)
N
N 2
u
Ai
( x, t, u)
t i 1 xi
i,
j 1 xi
x j
Bi,
j ( x, t, u) u,
⎥ ⎥
∂ ⎡ ∂
∂
= ⎢−
∑
+ ∑
∂ ⎢⎣
= ∂
= ∂ ∂
⎤
(1.3.9)
⎦
A i(
x, t, u)
= Ai
( x)
ve B i,
j ( x, t, u)
= Bi,
j ( x)
iken (1.3.9) nonlineer Fokker-Planck
denklemi, (1.3.6) lineer Fokker-Planck denklemine indirgenir.
Bu alt bölümde farklı tipte, faklı değişkenler ve başlangıç koşulları ile verilen Fokker-
Planck ve Kolmogorov denklemlerine homotopi pertürbasyon metodu uygulanmıştır.